Каков радиус сферы, если сфера касается граней двугранного угла величиной 90° и ближайшее расстояние по сфере между

Ласточка

60

Чтобы найти радиус сферы, которая касается граней двугранного угла, и ближайшее расстояние между точками касания составляет 36π единиц измерения, мы можем воспользоваться геометрическими свойствами сферы и двугранного угла.

Давайте рассмотрим следующее пошаговое решение:

Шаг 1: Понимание задачи
Мы должны найти радиус сферы, поэтому давайте предположим, что радиус сферы равен r единицам измерения.

Шаг 2: Построение вспомогательных линий
Построим вспомогательные линии, которые помогут нам решить задачу. Соединим центр сферы с точками касания на гранях двугранного угла. Обозначим эти точки как A и B.

Шаг 3: Расстояние между точками касания
Мы знаем, что расстояние между точками касания составляет 36π единиц измерения. Обозначим это расстояние как d.

Шаг 4: Нахождение расстояния от центра сферы до точек касания
Так как сфера касается граней двугранного угла, то прямая, соединяющая центр сферы и точку касания, перпендикулярна касательной к сфере в этой точке. Следовательно, у нас есть два прямоугольных треугольника OAD и OBE, где O - центр сферы, D и E - точки касания.

По теореме Пифагора в треугольнике OAD мы можем записать:
\[OA^2 = OD^2 + AD^2\]
То же самое верно и для треугольника OBE:
\[OB^2 = OE^2 + BE^2\]

Поскольку OD = OE = r (так как это радиус сферы), и AD = BE = d/2 (половина расстояния между точками касания), мы можем записать уравнения:
\[OA^2 = r^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2\]
\[OB^2 = r^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2\]

Шаг 5: Определение радиуса сферы
Так как сфера касается граней двугранного угла, то линия, соединяющая центр сферы и точку касания, является высотой этого двугранного угла. Значит, эта высота пересекает его вершину (точку пересечения двух граней) под прямым углом.

Таким образом, мы имеем дело с прямоугольным треугольником OAB, в котором один из катетов равен r, а гипотенуза - радиус сферы. Исходя из этого, мы можем применить теорему Пифагора:
\[AB^2 = OA^2 + OB^2\]
\[AB^2 = r^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 + r^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2\]

Используя значение расстояния между точками касания (d = 36π), мы можем записать уравнение:
\[(36\pi)^2 = r^2 + \left(\frac{36\pi}{2}\right)^2 + r^2 + \left(\frac{36\pi}{2}\right)^2\]

Шаг 6: Решение уравнения
Решим уравнение для нахождения значения радиуса сферы.

\[(36\pi)^2 = r^2 + \left(\frac{36\pi}{2}\right)^2 + r^2 + \left(\frac{36\pi}{2}\right)^2\]

\[1296\pi^2 = 2r^2 + \frac{1296\pi^2}{2}\]

Упростим уравнение:

\[1296\pi^2 - \frac{1296\pi^2}{2} = 2r^2\]

\[\frac{1296\pi^2}{2} = 2r^2\]

Упростим уравнение ещё раз, деля обе части на 2:

\[648\pi^2 = r^2\]

Извлекая квадратный корень из обеих сторон уравнения, мы получаем:

\[r = \sqrt{648\pi^2}\]

\[r = 18\pi\]

Поэтому радиус сферы составляет 18π единиц измерения в данной задаче.

Надеюсь, это подробное и пошаговое решение помогло вам понять, как найти радиус сферы в данной задаче. Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь спрашивать!