Каков радиус сферы, описанной вокруг правильной четырехугольной пирамиды, у которой двугранный угол при ребре основания

Saveliy

21

Для начала давайте вспомним, что такое правильная четырехугольная пирамида. Это пирамида, у которой основание — четырехугольник, все стороны и углы которого равны. В нашем случае, сторона основания равна \(a\).

Для решения задачи нам понадобится найти радиус сферы, описанной вокруг этой пирамиды.

Обратимся к геометрии пирамиды. Радиус сферы, описанной вокруг пирамиды, проходит через вершину пирамиды и является расстоянием между вершиной и центром сферы.

Также нам дан двугранный угол при ребре основания, который обозначен как \(\alpha\).

Для нахождения радиуса сферы мы можем обратиться к свойству биссектрисы, которая делит двугранный угол пополам и проходит через вершину пирамиды.

Обозначим биссектрису двугранного угла как \(h\). Для нахождения радиуса сферы нам понадобится найти длину \(h\).

А теперь рассмотрим правильный треугольник, состоящий из половины двугранного угла, основания пирамиды (стороны \(a\)) и биссектрисы \(h\).

Используя теорему косинусов для этого треугольника, мы можем записать:

\[a^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2h \cdot \frac{a}{2} \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\]

Это уравнение позволяет нам найти длину \(h\).

Теперь, чтобы выразить радиус сферы, нам нужно найти высоту пирамиды \(H\). Поскольку пирамида правильная, высота \(H\) можно найти с использованием теоремы Пифагора:

\[H^2 = h^2 + r^2\]

Где \(r\) - радиус сферы.

Теперь мы можем записать формулу для радиуса сферы:

\[r = \sqrt{H^2-h^2}\]

Давайте напишем формулу для радиуса сферы:

\[r = \sqrt{\left(a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 2h \cdot \frac{a}{2} \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) - h^2}\]

Это наш ответ. Теперь мы можем подставить значения стороны основания \(a\) и угла \(\alpha\) в эту формулу, чтобы получить численное значение радиуса сферы.