Тема: Основные задачи в системе координат Дано: Точки А(4;-15), В(-8;-5), С(5;0) Найти: а) Координаты вектора

Романович

54

Хорошо! Давайте решим поставленную задачу.

а) Для нахождения координат вектора AC, мы можем использовать формулу для нахождения разности координат двух точек. Разность координат в данном случае будет выглядеть следующим образом:

\[\overrightarrow{AC} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\]

где \(x_1, y_1\) - координаты точки A, а \(x_2, y_2\) - координаты точки C.

Подставляя значения координат из условия задачи, получим:

\[\overrightarrow{AC} = (5 - 4, 0 - (-15)) = (1, 15)\]

Таким образом, координаты вектора AC равны (1, 15).

б) Для нахождения длины вектора BC, мы можем использовать формулу для вычисления расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

где \(x_1, y_1\) - координаты точки B, а \(x_2, y_2\) - координаты точки C.

Подставляя значения координат из условия задачи, получим:

\[d = \sqrt{(-8 - 5)^2 + (-5 - 0)^2} = \sqrt{(-13)^2 + (-5)^2} = \sqrt{169 + 25} = \sqrt{194}\]

Таким образом, длина вектора BC равна \(\sqrt{194}\).

г) Чтобы найти координаты середины отрезка AB, мы можем использовать формулу для нахождения среднего арифметического двух чисел:

\[x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}\]

где \(x_1, y_1\) - координаты точки A, а \(x_2, y_2\) - координаты точки B.

Подставляя значения координат из условия задачи, получим:

\[x_m = \frac{4 + (-8)}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]
\[y_m = \frac{-15 + (-5)}{2} = \frac{-20}{2} = -10\]

Таким образом, координаты середины отрезка AB равны (-2, -10).

д) Чтобы найти длину медианы, нам нужно найти координаты точки, которая является серединой отрезка BC. По формуле, в случае медианы, это будет точка D, которая делит отрезок BC пополам.

Поэтому, координаты точки D будут равны:

\[x_d = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_d = \frac{y_1 + y_2}{2}\]

где \(x_1, y_1\) - координаты точки B, а \(x_2, y_2\) - координаты точки C.

Подставляя значения координат из условия задачи, получим:

\[x_d = \frac{-8 + 5}{2} = \frac{-3}{2} = -1,5\]
\[y_d = \frac{-5 + 0}{2} = \frac{-5}{2} = -2,5\]

Таким образом, координаты точки D равны (-1,5, -2,5). Теперь, чтобы найти длину медианы, мы можем использовать формулу для вычисления расстояния между двумя точками:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

где \(x_1, y_1\) - координаты точки A, а \(x_2, y_2\) - координаты точки D.

Подставляя значения в формулу, получим:

\[d = \sqrt{(-1,5 - 4)^2 + (-2,5 - (-15))^2} = \sqrt{(-5,5)^2 + (12,5)^2} = \sqrt{30,25 + 156,25} = \sqrt{186,5}\]

Таким образом, длина медианы равна \(\sqrt{186,5}\).