Какова длина высоты равностороннего треугольника со стороной, равной 7 корням?

Magicheskiy_Kot_4685

19

Для решения этой задачи нам необходимо использовать несколько свойств равностороннего треугольника.

Сначала нам нужно определить высоту равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике высота является биссектрисой и медианой одновременно. Для дальнейшего рассуждения нам понадобится знание о том, что биссектриса равностороннего треугольника делит основание на две равные части, а медиана делит сторону треугольника пополам.

Поскольку сторона равностороннего треугольника равна \(\sqrt{7}\), то длина половины основания (от точки пересечения высоты и основания до одного из вершин) также будет равна \(\frac{\sqrt{7}}{2}\).

Так как биссектриса треугольника делит основание на две равные части, то весь отрезок основания будет иметь длину \(\sqrt{7}\).

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в более общей форме, в которой сторона треугольника равна квадратному корню из суммы квадратов двух других сторон:

\[
a^2 = b^2 + c^2
\]

В нашем случае сторона треугольника равна \(\sqrt{7}\), а две другие стороны равны \(\frac{\sqrt{7}}{2}\). Подставляя эти значения в формулу, мы получаем:

\[
\left(\sqrt{7}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2 + h^2
\]

\[
7 = \frac{7}{4} + h^2
\]

\[
h^2 = 7 - \frac{7}{4}
\]

\[
h^2 = \frac{28}{4} - \frac{7}{4}
\]

\[
h^2 = \frac{21}{4}
\]

Теперь найдем квадратный корень из значения \(h^2\):

\[
h = \sqrt{\frac{21}{4}}
\]

\[
h = \frac{\sqrt{21}}{2}
\]

Таким образом, длина высоты равностороннего треугольника со стороной, равной \(7\) корням, составляет \(\frac{\sqrt{21}}{2}\).