Каков радиус сферы, описанной вокруг прямоугольного параллелепипеда с объемом 125?

Николай

47

Для решения данной задачи нужно применить формулы, связывающие объем прямоугольного параллелепипеда с его размерами и радиусом описанной сферы.

Обозначим стороны прямоугольного параллелепипеда через \(a\), \(b\) и \(c\) (стороны параллельные друг другу имеют одинаковую длину). Тогда объем параллелепипеда равен произведению длин его сторон:

\[V = abc\]

По условию задачи известно, что объем параллелепипеда равен 125:

\[abc = 125\]

Также известно, что сфера описана вокруг этого параллелепипеда. Это означает, что радиус сферы равен половине диагонали параллелепипеда.

Диагональ параллелепипеда можно найти с помощью теоремы Пифагора. Для этого найдем длину диагонали, исходя из известных сторон параллелепипеда:

\[d^2 = a^2 + b^2 + c^2\]

Теперь можно найти радиус описанной сферы:

\[R = \frac{1}{2}d\]

Итак, у нас есть уравнение \(abc = 125\) для объема параллелепипеда и формула для радиуса сферы \(R = \frac{1}{2}d\), где \(d\) - диагональ параллелепипеда. Найдем диагональ с помощью теоремы Пифагора:

\[d^2 = a^2 + b^2 + c^2\]

\[d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\]

Теперь мы можем найти радиус описанной сферы:

\[R = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\]

Для упрощения вычислений можно использовать второй корень из 125 (так как 125 = 25 * 5):

\[R = \frac{1}{2} \sqrt{25 \cdot 5}\]

\[R = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{5}\]

Таким образом, радиус сферы, описанной вокруг прямоугольного параллелепипеда с объемом 125, равен \(\frac{5}{2}\sqrt{5}\).