Каков радиус сферы, описывающей конус длиной 9 см, у которого диаметр основания равен его высоте?

Snezhok_2960

25

Чтобы найти радиус сферы, описывающей конус, нам необходимо использовать свойства конусов и формулы, связанные с этими свойствами.

Дано, что диаметр основания конуса равен его высоте, то есть \(d = h\), где \(d\) - диаметр, \(h\) - высота.

Также нам известно, что длина образующей конуса равна 9 см.

Образующая конуса представляет собой прямую линию, которая соединяет вершину конуса с точкой на его основании. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину образующей. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой равной образующей, и катетами равными радиусу основания (\(r\)) и высоте (\(h\)) конуса, справедлива следующая формула:

\[l = \sqrt{r^2 + h^2}\]

где \(l\) - длина образующей.

Мы знаем, что \(l = 9\). Теперь мы можем использовать данную информацию для нахождения радиуса (\(r\)):

\[9 = \sqrt{r^2 + h^2}\]

В данной задаче мы имеем две неизвестных величины - радиус (\(r\)) и высоту (\(h\)). Однако, в условии задачи сказано, что диаметр основания конуса равен его высоте, то есть \(d = h\).

Таким образом, мы можем заменить высоту (\(h\)) в формуле на диаметр (\(d\)):

\[9 = \sqrt{r^2 + d^2}\]

Теперь мы можем решить данное уравнение относительно радиуса конуса. Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[(9)^2 = (\sqrt{r^2 + d^2})^2\]

\[(9)^2 = r^2 + d^2\]

Раскроем скобки:

\[81 = r^2 + d^2\]

Теперь мы можем использовать информацию из условия задачи о равенстве диаметра (\(d\)) и высоты (\(h\)), чтобы упростить это уравнение:

\[81 = r^2 + h^2\]

Теперь мы знаем, что \(d = h\), поэтому мы можем заменить \(h\) на \(d\):

\[81 = r^2 + d^2\]

Теперь мы можем подставить известное значения длины образующей конуса (\(l\)), равное 9, и прекратить подставлять уравнения:

\[81 = r^2 + (9)^2\]
\[81 = r^2 + 81\]

Теперь вычтем 81 из обеих сторон уравнения:

\[0 = r^2\]

Таким образом, мы получили, что \(r^2 = 0\).

Из этого следует, что радиус сферы, описывающей конус, равен 0. Получается, что в данной задаче конус является вырожденным случаем, и его вершина совпадает с центром его основания.

Надеюсь, что это решение было полезным и понятным для вас. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.