Каков радиус шара, касающегося ребра AD в точке M, если в пирамиде ABCD ребра AC, BC, CD перпендикулярны друг другу

Lisa

40

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем решение на несколько шагов.

1. Начнем с построения схемы. Нарисуем пирамиду ABCD, где AC, BC и CD являются перпендикулярными попарно, а их длины составляют 4 единицы. Также отметим точку P как середину ребра AB и точку M на ребре AD, которая делит его в отношении 3:1.

2. Обратимся к геометрии пирамиды ABCD. Поскольку точка P является серединой ребра AB, мы можем провести прямую, которая будет проходить через P, перпендикулярно плоскости ABCD и пересекать ребро CD в точке O.

3. Поскольку ребра AC, BC и CD являются перпендикулярными попарно, прямая PO будет проходить через центр окружности, описанной вокруг треугольника CDO. Используя свойства окружности, мы можем сказать, что радиус этой окружности равен половине длины ребра CD.

4. Теперь вернемся к отношению, в котором точка M делит ребро AD. Мы знаем, что прямоугольный треугольник CDO подобен прямоугольному треугольнику AMO. Используя соответствующие стороны треугольников, мы можем записать следующее отношение:
\(\frac{{AM}}{{CD}} = \frac{{OM}}{{OD}}\)

5. Мы также знаем, что отношение AM к AD составляет 3:1. Поэтому можно сказать, что \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{3}}{{4}}\).

6. Зная, что AM + OM = AD и объединяя два предыдущих уравнения, мы можем решить задачу и найти значение радиуса шара. Выразим AM через AD:
\(AM = \frac{{3}}{{4}} \cdot AD\)

7. Теперь заметим, что OM + OD = CD, но так как OD и радиус окружности имеют одинаковую длину (так как О - центр описанной окружности), OM + радиус = радиус. Записывая это в уравнение, получим:
\(OM + \frac{{1}}{{2}} \cdot CD = \frac{{1}}{{2}} \cdot CD\)

8. Выразив OM через радиус, получаем:
\(OM = -\frac{{1}}{{2}} \cdot CD\)

9. Теперь соберем все вместе. Подставляем значения AM и OM в уравнение AM + OM = AD:
\(\frac{{3}}{{4}} \cdot AD - \frac{{1}}{{2}} \cdot CD = AD\)

10. Упростим уравнение, выражая CD через AD:
\(\frac{{3}}{{4}} \cdot AD - \frac{{1}}{{2}} \cdot CD = AD\) \(\Rightarrow \frac{{3}}{{4}} \cdot AD - \frac{{1}}{{2}} \cdot 4 = AD\) \(\Rightarrow \frac{{3}}{{4}} \cdot AD - 2 = AD\) \(\Rightarrow \frac{{1}}{{4}} \cdot AD = 2\) \(\Rightarrow AD = 8\)

11. Теперь мы знаем, что длина ребра AD равна 8 единицам. Поскольку радиус окружности вокруг треугольника CDO равен половине длины ребра CD, радиус окружности будет \(\frac{{1}}{{2}} \cdot 4 = 2\) единицы.

Таким образом, радиус шара, касающегося ребра AD в точке M, составляет 2 единицы.