Каков радиус шара, который вписан в данную правильную треугольную пирамиду с апофемой b и двугранным углом при ребре

Светлана

68

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать геометрические свойства правильной треугольной пирамиды.

Дано, что у пирамиды апофема равна \(b\), а двугранный угол при ребре основания составляет \(2\alpha\), где \(\alpha\) - половина угла основания треугольника.

Обозначим радиус вписанного в пирамиду шара как \(r\).

Докажем несколько утверждений, которые пригодятся для решения задачи:

1. Линия, соединяющая центр шара с вершиной пирамиды, проходит через центр основания и является высотой пирамиды. Доказательство этого факта приведено ниже:

Рассмотрим треугольник, образованный этой линией, радиусом шара и высотой пирамиды. Поскольку данный треугольник содержит радиус шара и его высоту, он является прямоугольным треугольником. Вершина прямого угла находится в центре шара, а основание - в центре основания пирамиды. Таким образом, линия, соединяющая центр шара с вершиной пирамиды, является высотой пирамиды.

2. Вершины пирамиды, центр основания и центр шара лежат на одной прямой. Доказательство этого факта приведено ниже:

Поскольку линия, соединяющая центр шара с вершиной пирамиды, является высотой пирамиды, она перпендикулярна основанию пирамиды. Так как каждое ребро треугольника пирамиды является высотой для соответствующей боковой грани, то каждая грань треугольной пирамиды также перпендикулярна основанию. Проведем прямую через вершины пирамиды и центр основания, а также линию, соединяющую центр шара с вершиной пирамиды. Так как каждая грань пирамиды перпендикулярна основанию, то каждая из них также перпендикулярна прямой, проходящей через вершину пирамиды и центр основания. Таким образом, вершины пирамиды, центр основания и центр шара лежат на одной прямой.

Теперь докажем, что \(r = \frac{b}{2\sin{\alpha}}\):

Разберем пирамиду на треугольные грани. Пусть \(s\) - длина стороны основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды, \(S\) - площадь основания пирамиды, и \(L\) - длина окружности, описанной вокруг основания пирамиды. Тогда площадь основания пирамиды можно выразить следующим образом: \(S = \frac{1}{2}sh\). С другой стороны, \(S = \frac{Lr}{2}\), так как площадь основания пирамиды равна половине произведения длины окружности и радиуса вписанного шара.

Теперь рассмотрим основание пирамиды. Оно является прямоугольным треугольником со сторонами \(s\), \(s\) и \(2r\sin{\alpha}\). Площадь треугольника можно выразить так: \(S = \frac{1}{2} s \cdot s \cdot \sin{\alpha}\). Отсюда получаем уравнение: \(\frac{1}{2}sh = \frac{Lr}{2} = \frac{1}{2} s \cdot s \cdot \sin{\alpha}\).

Сокращаем на \(\frac{1}{2}\) и делим обе части уравнения на \(s\). Получаем: \(h = L = s \cdot \sin{\alpha}\).

Теперь подставляем выражение для \(L\) и \(s\) в уравнение, получаем: \(h = \frac{Lr}{2} = \frac{b}{2\sin{\alpha}} \cdot r\).

Так как \(h = b\), получаем уравнение: \(b = \frac{b}{2\sin{\alpha}} \cdot r\).

Делим обе части уравнения на \(b\), получаем: \(1 = \frac{1}{2\sin{\alpha}} \cdot r\).

Умножаем обе части уравнения на \(2\sin{\alpha}\), получаем: \(2\sin{\alpha} = r\).

Таким образом, радиус вписанного в пирамиду шара равен \(r = 2\sin{\alpha}\).

Окончательный ответ: радиус шара, вписанного в данную правильную треугольную пирамиду с апофемой \(b\) и двугранным углом при ребре основания \(2\alpha\), равен \(r = 2\sin{\alpha}\).