Каков радиус шара, в который вписан куб со стороной 21√3

Babochka

34

Чтобы найти радиус шара, в который вписан куб, нам потребуется знание о свойствах вписанных фигур. В этом случае, нас интересует связь между стороной куба и радиусом вписанного шара.

Рассмотрим одну из граней куба с длиной стороны \(a\). Заметим, что вписанный шар касается вершин этой грани куба. Расстояние от центра вписанного шара до вершины куба будет равно радиусу вписанного шара. Это можно увидеть, проведя отрезок от центра шара до вершины куба и отрезок от центра шара до середины ребра грани куба - эти отрезки будут радиусами шара и половины стороны куба соответственно. Таким образом, получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой равной радиусу, а катетом равным половине стороны куба.

Мы знаем, что сторона куба равна \(21\sqrt{3}\). Таким образом, половина стороны будет равна \(\frac{21\sqrt{3}}{2}\) и представляет собой катет треугольника.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, где один катет равен \(\frac{21\sqrt{3}}{2}\), гипотенуза равна радиусу, можно записать следующее:

\[\text{радиус шара}^2 = \left(\frac{21\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{21\sqrt{3}}{2}\right)^2\]

Решим эту формулу:

\[\text{радиус шара}^2 = \frac{441}{4} \cdot 3\]

\[\text{радиус шара}^2 = \frac{1323}{4}\]

\[\text{радиус шара} = \sqrt{\frac{1323}{4}}\]

\[\text{радиус шара} = \frac{\sqrt{1323}}{2}\]

Таким образом, радиус шара, в который вписан куб со стороной \(21\sqrt{3}\), равен \(\frac{\sqrt{1323}}{2}\). Это является оригинальным ответом на задачу с пошаговым объяснением.