3) Высота треугольника ABC, проведенная из вершины A, равна 4/3, а сторона AB равна 8. Найдите значение косинуса угла

Sarancha

54

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться определением косинуса угла в прямоугольном треугольнике. Возьмем треугольник ABC, где сторона AB равна 8 единицам, а высота, проведенная из вершины A, равна 4/3 единицы.

Чтобы найти значение косинуса угла в треугольнике ABC, нам необходимо найти значение гипотенузы и прилежащего катета. Затем мы сможем применить формулу косинуса.

Для начала найдем значение гипотенузы треугольника ABC. Воспользуемся теоремой Пифагора:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

где c - гипотенуза, а и b - катеты треугольника.

В нашем случае, сторона AB равна 8, высота проведенная из вершины A равна 4/3. Присвоим \(c\) значение гипотенузы, \(a\) значению стороны AB, а \(b\) значению высоты. Подставим значения в формулу:

\[c^2 = (8)^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^2\]

\[c^2 = 64 + \frac{16}{9}\]

\[c^2 = \frac{576}{9} + \frac{16}{9}\]

\[c^2 = \frac{592}{9}\]

Теперь найдем значение гипотенузы, взяв квадратный корень из полученного значения:

\[c = \sqrt{\frac{592}{9}}\]

Теперь, когда мы знаем значение гипотенузы \(c\), мы можем найти значение катета \(b\), так как высота является перпендикуляром к основанию треугольника. Воспользуемся теоремой Пифагора:

\[b^2 = c^2 - a^2\]

Подставим уже известные значения:

\[b^2 = \frac{592}{9} - (8)^2\]

\[b^2 = \frac{592}{9} - 64\]

\[b^2 = \frac{592 - 576}{9}\]

\[b^2 = \frac{16}{9}\]

\[b = \sqrt{\frac{16}{9}}\]

Итак, мы нашли значение катета \(b\). Теперь у нас есть все необходимые значения, чтобы применить формулу косинуса:

\[\cos(\angle BAC) = \frac{b}{c}\]

Подставим известные значения:

\[\cos(\angle BAC) = \frac{\sqrt{\frac{16}{9}}}{\sqrt{\frac{592}{9}}}\]

\[\cos(\angle BAC) = \sqrt{\frac{16}{592}}\]

\[\cos(\angle BAC) = \sqrt{\frac{1}{37}}\]

Таким образом, значение косинуса угла в треугольнике ABC равно \(\sqrt{\frac{1}{37}}\).