Какова длина хорды, если угол ∡ABC равен 30° и радиус окружности составляет

Рак

57

Для решения этой задачи мы можем использовать геометрические свойства окружности и тригонометрию. Поскольку у нас дан угол ∡ABC, мы можем использовать его для нахождения длины хорды в зависимости от радиуса окружности.

Для начала, давайте определим, что такое хорда. Хорда - это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Есть несколько способов нахождения длины хорды, и один из них - использование угла, образующего хорду.

Для начала давайте построим треугольник ∆ABC, где точка B - центр окружности, а точки A и C - концы хорды. У нас есть угол ∡ABC, который равен 30°, и радиус окружности. Давайте обозначим радиус как r и длину хорды как x.

Теперь воспользуемся геометрическим свойством окружности. У нас есть радиус и хорда, сопряженные в одном треугольнике. Когда мы соединяем радиус с концами хорды, мы получаем два равнобедренных треугольника. Это происходит потому, что радиус является радиусом окружности и, следовательно, одинаково удален от двух точек на хорде.

Используя равнобедренный треугольник, мы можем разделить угол ∡ABC пополам и получить прямоугольный треугольник ∆ABD, где D - середина хорды.

Теперь давайте выясним, как всё это связано с тригонометрией. В прямоугольном треугольнике ∆ABD, мы можем использовать функцию синуса для нахождения отношения сторон треугольника. В данном случае мы можем написать следующее уравнение:

\[\sin{\frac{∡ABD}{2}} = \frac{\frac{x}{2}}{r}\]

Теперь давайте решим это уравнение относительно x. Для начала, возведем обе стороны уравнения в степень 2:

\[\left(\sin{\frac{∡ABD}{2}}\right)^2 = \left(\frac{\frac{x}{2}}{r}\right)^2\]

Затем упростим это уравнение:

\[\sin^2{\frac{∡ABD}{2}} = \frac{x^2}{4r^2}\]

Теперь давайте используем тригонометрическое тождество \(\sin^2{\theta} = \frac{1 - \cos{2\theta}}{2}\). Подставив это в наше уравнение, получим:

\[\frac{1 - \cos{∡ABD}}{2} = \frac{x^2}{4r^2}\]

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает угол ∡ABD, радиус окружности и длину хорды. Мы должны учесть, что угол ∡ABD равен половине заданного угла ∡ABC. Так как ∡ABD = ∡ABC / 2 = (30°) / 2 = 15°, подставим это значение в уравнение:

\[\frac{1 - \cos{15°}}{2} = \frac{x^2}{4r^2}\]

Теперь давайте вычислим значение синуса и косинуса угла 15°:

\[\cos{15°} = \sqrt{\frac{1 + \cos{30°}}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}\]

\[\sin{15°} = \sqrt{\frac{1 - \cos{30°}}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}\]

Подставим значения в наше уравнение:

\[\frac{1 - \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}}{2} = \frac{x^2}{4r^2}\]

Теперь у нас есть уравнение, которое мы можем решить для нахождения значения x. Мы можем перемножить обе стороны уравнения на 4r^2:

\[4r^2 \times \frac{1 - \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}}{2} = x^2\]

Извлечем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[x = \sqrt{4r^2 \times \frac{1 - \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}}{2}}\]

Итак, получаем длину хорды x, исходя из заданных угла ∡ABC и радиуса окружности. Мы использовали геометрические свойства окружности, тригонометрию и решали уравнение для нахождения этой длины. Теперь вы можете применить это решение для своей конкретной ситуации, подставив значения радиуса окружности.