Каков радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы, в прямоугольном треугольнике АВС, где АВ равно c, АС равно

Pugayuschiy_Shaman

26

Для решения задачи о радиусе вневписанной окружности в прямоугольном треугольнике введем следующие обозначения:

\(a\) - гипотенуза треугольника,
\(b\) и \(c\) - катеты треугольника.

Пусть \(\displaystyle r_{A}\), \(\displaystyle r_{B}\) и \(\displaystyle r_{C}\) - радиусы вписанных окружностей, а \(\displaystyle R\) - радиус вневписанной окружности.

Для нахождения радиуса вневписанной окружности воспользуемся следующей формулой:

\(\displaystyle R=\dfrac{a+b-c}{2}\)

где \(\displaystyle a+b-c\) - полупериметр треугольника.

Теперь, с учетом обозначений, подставим значения и решим задачу.

В нашем случае, заданы \(\displaystyle AB=c\), \(\displaystyle AC=b\) и \(\displaystyle BC=a\).

Поскольку треугольник прямоугольный, то из теоремы Пифагора мы можем установить следующую связь:

\(\displaystyle a^{2} =b^{2} +c^{2}\)

Теперь найдем полупериметр треугольника:

\(\displaystyle p=\dfrac{a+b+c}{2}\)

\(\displaystyle p=\dfrac{a+2b}{2}\)

Теперь подставим значение полупериметра в формулу для радиуса вневписанной окружности:

\(\displaystyle R=\dfrac{a+b-c}{2}\)

\(\displaystyle R=\dfrac{a+2b-a}{2}\)

\(\displaystyle R=\dfrac{2b}{2}\)

\(\displaystyle R=b\)

Таким образом, радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы прямоугольного треугольника, равен \(\displaystyle b\).