Каков радиус вневписанной окружности, которая касается гипотенузы, в прямоугольном треугольнике ABC, где AB = c

Путешественник_Во_Времени

49

Для нахождения радиуса вневписанной окружности, которая касается гипотенузы прямоугольного треугольника ABC, мы можем использовать следующий подход:

1. Давайте вспомним, что вневписанная окружность располагается внутри треугольника и касается двух его сторон, а также продолжения третьей стороны.

2. Пусть треугольник ABC имеет гипотенузу BC, а стороны AB и AC соответственно обозначим как b и c.

3. Обозначим радиус вневписанной окружности как r. Тогда мы хотим найти значение этого радиуса.

4. Заметим, что точка касания вневписанной окружности с гипотенузой BC делит эту сторону на две отрезка. Пусть один из этих отрезков равен x, а другой y.

5. Из теоремы Фалеса известно, что отношение длин отрезков, на которые гипотенуза делится точкой касания, равно отношению длин смежных катетов. То есть x:b = c:y.

6. Из этого отношения мы можем выразить x и y через b и c следующим образом: x = (b * c) / (b + c), y = (b * c) / (b + c).

7. Теперь мы знаем длину отрезков, на которые гипотенуза делится точкой касания. Осталось только найти их сумму: x + y = (b * c) / (b + c) + (b * c) / (b + c) = 2bc / (b + c).

8. Наконец, радиус вневписанной окружности можно найти соотношением r = (Площадь треугольника ABC) / (полупериметр треугольника ABC), где полупериметр треугольника ABC равен (a + b + c) / 2. В нашем случае полупериметр равен (b + c + c) / 2 = (b + 2c) / 2.

9. Площадь треугольника можно выразить как S = (a * b) / 2.

10. Подставив все значения в формулу для радиуса вневписанной окружности, получаем окончательный ответ: \[r = \frac{{(a \cdot b) / 2}}{{(b + 2c) / 2}} = \frac{{a \cdot b}}{{b + 2c}}\].

Итак, радиус вневписанной окружности равен \(\frac{{a \cdot b}}{{b + 2c}}\), где a - длина гипотенузы, b - длина катета AB, c - длина катета AC.