Каков радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике, в котором каждый катет равен 2+ корень

Тарас

60

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами вписанной окружности прямоугольного треугольника.

В прямоугольном треугольнике с катетами \(a\) и \(b\) вписанная окружность касается всех трех сторон треугольника. Пусть \(r\) - радиус этой окружности.

Один из способов найти радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике - это воспользоваться формулой Герона для площади треугольника и связью между площадью треугольника, полупериметром и радиусом вписанной окружности:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(p\) - полупериметр треугольника, а \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника.

В нашем случае, так как у нас прямоугольный треугольник, одна из сторон равна \(2 + \sqrt{2}\), а другая сторона также равна \(2 + \sqrt{2}\). Поэтому длины сторон треугольника равны:

\(a = 2 + \sqrt{2}\)

\(b = 2 + \sqrt{2}\)

Также известно, что полупериметр треугольника равен полусумме длин его сторон:

\[p = \frac{a + b + c}{2}\]

Так как третья сторона в прямоугольном треугольнике - это гипотенуза, то ее длина равна:

\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)

После того, как мы найдем значения \(a\), \(b\) и \(c\), мы сможем вычислить полупериметр и затем применить формулу Герона для нахождения площади треугольника. После этого мы сможем найти радиус вписанной окружности.

Давайте вычислим все необходимые значения:

\[c = \sqrt{(2 + \sqrt{2})^2 + (2 + \sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 4\sqrt{2}}\]

\[p = \frac{(2 + \sqrt{2}) + (2 + \sqrt{2}) + \sqrt{8 + 4\sqrt{2}}}{2} = 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{8 + 4\sqrt{2}}}{2}\]

Теперь, имея значения сторон \(a\), \(b\) и \(c\), а также полупериметра \(p\), мы можем вычислить площадь треугольника:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

\[S = \sqrt{\left(4 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{8 + 4\sqrt{2}}}{2}\right)\left(4 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(4 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(4 - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{8 + 4\sqrt{2}}}{2}\right)}\]

После вычисления площади мы можем найти радиус вписанной окружности, используя следующее соотношение:

\[r = \frac{S}{p}\]

Таким образом, чтобы найти радиус вписанной окружности в нашем прямоугольном треугольнике, нужно вычислить все промежуточные значения и осуществить окончательные вычисления.