Каков объём правильной треугольной призмы, если сторона основания равна 300см и угол между диагональю боковой грани

Мирослав_4614

46

Чтобы найти объем треугольной призмы, сначала нужно вычислить площадь основания и затем умножить ее на высоту призмы. Начнем с вычисления площади основания.

У нас есть правильная треугольная призма, поэтому ее основание представляет собой равносторонний треугольник. Зная длину стороны основания, мы можем вычислить площадь треугольника по формуле:

\[Площадь = \frac{{сторона^2 \cdot \sqrt{3}}}{4}\]

В нашем случае сторона основания равна 300 см, поэтому подставляя значение в формулу, получим:

\[Площадь = \frac{{300^2 \cdot \sqrt{3}}}{4} = \frac{{90000 \cdot \sqrt{3}}}{4}\]

Теперь нам нужно найти высоту призмы. Для этого обратимся к углу между диагональю боковой грани и плоскостью основания. Поскольку угол составляет 60 градусов, мы знаем, что это прямоугольный треугольник, где диагональ боковой грани является гипотенузой, а сторона основания - одной из катетов. Воспользуемся тригонометрической функцией синус, чтобы найти высоту:

\[\sin(60) = \frac{{высота}}{{сторона}}\]

Решая уравнение относительно высоты, получим:

\[высота = сторона \cdot \sin(60) = 300 \cdot \sin(60)\]

Вычислим значение высоты призмы:

\[высота = 300 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{2} = 150\sqrt{3}\]

Теперь мы можем найти объем треугольной призмы, умножив площадь основания на высоту:

\[объем = площадь \cdot высота = \frac{{90000 \cdot \sqrt{3}}}{4} \cdot 150\sqrt{3}\]

Упростим выражение:

\[объем = \frac{{90000 \cdot 150 \cdot (\sqrt{3})^2}}{4}\]

\[объем = 3375000\ см^3\]

Таким образом, объем правильной треугольной призмы с заданными параметрами составляет 3375000 кубических сантиметров.