Каков результат деления 5 в 4-й степени на 49 в -3 степени, умноженный на 7 в -7 степени, умноженный на 25

Магнитный_Ловец_64

29

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание математических свойств степеней и знание правил умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями.

Давайте начнем с рассмотрения деления 5 в четвертой степени на 49 в минус третьей степени. Для начала, выведем оба числа в основание 7, так как 49 это \(7^2\):
\[ \frac{5^4}{49^{-3}} = \frac{5^4}{(7^2)^{-3}} \]

Согласно правилу, деление степени на степень с одним и тем же основанием приводит к умножению степени на разность показателей степени. Таким образом, мы можем записать:
\[ \frac{5^4}{(7^2)^{-3}} = 5^4 \cdot (7^2)^3 \]

Теперь мы можем упростить вторую часть выражения, возводя \(7^2\) в третью степень:
\[ 5^4 \cdot (7^2)^3 = 5^4 \cdot 7^{2 \cdot 3} = 5^4 \cdot 7^6 \]

После этого, мы продолжаем вычисление, перемножая 5 в четвертой степени на \(7^6\):
\[ 5^4 \cdot 7^6 = 5^4 \cdot 7^4 \cdot 7^2 \]

Теперь мы можем заметить, что \(5^4\) и \(7^4\) равны 1, если учесть, что степени числа, возведенные в четвертую степень, дают 1. Это свойство называется "степень единицы". Таким образом, мы можем записать:
\[ 5^4 \cdot 7^4 \cdot 7^2 = 1 \cdot 7^2 \cdot 7^2 = 7^{2+2} = 7^4 \]

Наконец, нам нужно умножить полученный результат на 7 в минус седьмой степени, умноженный на 25 в третьей степени. Для начала, выведем 7 в основание 5, так как \(25 = 5^2\):
\[ 7^4 \cdot 7^{-7} \cdot 25^3 = 7^4 \cdot 7^{-7} \cdot (5^2)^3 \]

Применяя правило умножения степени на степень с одним и тем же основанием, мы получим:
\[ 7^4 \cdot 7^{-7} \cdot (5^2)^3 = 7^{4+(-7)} \cdot 5^{2 \cdot 3} \]

Далее, мы можем упростить выражение, возводя \(7\) в первой части в степень:
\[ 7^{4+(-7)} \cdot 5^{2 \cdot 3} = 7^{-3} \cdot 5^6 \]

Теперь у нас есть результат деления 5 в четвертой степени на 49 в минус третьей степени, умноженный на 7 в минус седьмой степени, умноженный на 25 в третьей степени:
\[ 7^{-3} \cdot 5^6 \]

Обратите внимание, что отрицательная степень означает, что мы должны взять обратное значение. То есть, мы можем записать:
\[ 7^{-3} \cdot 5^6 = \frac{1}{7^3} \cdot 5^6 \]

Наконец, мы можем посчитать значения чисел в степени:
\[ \frac{1}{7^3} \cdot 5^6 = \frac{1}{343} \cdot 15625 \]

Путем умножения, мы можем получить окончательный результат:
\[ \frac{1}{343} \cdot 15625 \approx 45.62 \]

Таким образом, результат деления 5 в четвертой степени на 49 в минус третьей степени, умноженный на 7 в минус седьмой степени, умноженный на 25 в третьей степени примерно равен 45.62.