Каков результат деления косинуса альфа на разность 1 минус синус альфа, поделенную на сумму 1 плюс синус альфа, равный

Янтарное

9

Для решения этой задачи нам понадобится использовать тригонометрические тождества. Давайте подробно рассмотрим каждый шаг.

Нам дано уравнение:

\[
\frac{\cos(\alpha)}{(1 - \sin(\alpha))} \div (1 + \sin(\alpha)) = 2\tan(\alpha)
\]

Для начала, давайте раскроем выражение в левой части уравнения. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на \(1 + \sin(\alpha)\):

\[
\frac{\cos(\alpha) \cdot (1 + \sin(\alpha))}{(1 - \sin(\alpha)) \cdot (1 + \sin(\alpha))}
\]

Мы можем заметить, что \(1 - \sin^2(\alpha)\) равно \(\cos^2(\alpha)\) благодаря тригонометрическому тождеству \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\). Поэтому мы можем преобразовать наше выражение:

\[
\frac{\cos(\alpha) \cdot (1 + \sin(\alpha))}{\cos^2(\alpha)}
\]

Затем мы разделим числитель и знаменатель на \(\cos(\alpha)\):

\[
\frac{(1 + \sin(\alpha))}{\cos(\alpha)}
\]

Мы можем заметить, что \(\frac{1}{\cos(\alpha)}\) равно \(\sec(\alpha)\) благодаря тригонометрическому тождеству. Теперь наше уравнение принимает вид:

\[
(1 + \sin(\alpha))\sec(\alpha)
\]

Изначально нам было дано, что это выражение равно \(2\tan(\alpha)\). Мы знаем, что \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\), поэтому мы можем записать уравнение следующим образом:

\[
(1 + \sin(\alpha))\sec(\alpha) = 2\left(\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\right)
\]

Умножим обе части уравнения на \(\cos(\alpha)\):

\[
(1 + \sin(\alpha))\cos(\alpha)\sec(\alpha) = 2\sin(\alpha)
\]

Теперь пользуемся тригонометрическим тождеством \(\sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)}\):

\[
(1 + \sin(\alpha)) = 2\sin(\alpha)
\]

Раскроем скобки:

\[
1 +\sin(\alpha) = 2\sin(\alpha)
\]

При вычитании \(\sin(\alpha)\) из обеих частей уравнения, получаем:

\[
1 = \sin(\alpha)
\]

Таким образом, решением исходного уравнения является \(\alpha = \arcsin(1)\).

Надеюсь, объяснение было понятным. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.