1) Determine f(x) = 3cot(x) + 2sin(x) at x = π/6. 2) Find f(x) = x - 2cos(x) + 3tan(x) at x = π/4. 3) Calculate f(x

Скоростная_Бабочка

44

Решение:

1. Для первой задачи, определим функцию $f(x)=3\cot (x)+2\sin (x)$ при $x=\frac{\pi }{6}$:

$$f\left(\frac{\pi }{6}\right)=3\cot \left(\frac{\pi }{6}\right)+2\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)$$

Узнаем значения тангенса и синуса в точках $\frac{\pi }{6}$:
$$\cot \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{\tan \left(\frac{\pi }{6}\right)}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$$
$$\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$$

Теперь подставим найденные значения:

$$f\left(\frac{\pi }{6}\right)=3\sqrt{3}+2\cdot \frac{1}{2}=3\sqrt{3}+1$$

Ответ: $f\left(\frac{\pi }{6}\right)=3\sqrt{3}+1$.

2. Теперь перейдем ко второй задаче, где нужно найти значение функции $f(x)=x-2\cos (x)+3\tan (x)$ при $x=\frac{\pi }{4}$:

$$f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\pi }{4}-2\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)+3\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)$$

Значения косинуса и тангенса при $\frac{\pi }{4}$:
$$\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)=1$$

Подставляем значения:

$$f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\pi }{4}-2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+3\cdot 1=\frac{\pi }{4}-\sqrt{2}+3$$

Ответ: $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\pi }{4}-\sqrt{2}+3$.

3. Для третьей задачи, необходимо вычислить значение функции $f(x)=2x^2-2\tan (x)+\sin (x)$ при $x=\frac{3\pi }{4}$:

$$f\left(\frac{3\pi }{4}\right)=2{\left(\frac{3\pi }{4}\right)}^2-2\tan \left(\frac{3\pi }{4}\right)+\sin \left(\frac{3\pi }{4}\right)$$

Узнаем значение тангенса и синуса при $\frac{3\pi }{4}$:
$$\tan \left(\frac{3\pi }{4}\right)=-1$$
$$\sin \left(\frac{3\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Подставляем значения:

$$f\left(\frac{3\pi }{4}\right)=2{\left(\frac{3\pi }{4}\right)}^2-2\cdot (-1)+(-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{9{\pi }^2}{8}+2-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $f\left(\frac{3\pi }{4}\right)=\frac{9{\pi }^2}{8}+2-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Наконец, рассмотрим четвертую задачу, где требуется оценить функцию $f(x)=\frac{2}{x}-2\cot (x)+4\sin (x)$ при $x=\frac{2\pi }{3}$:

$$f\left(\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{2}{\frac{2\pi }{3}}-2\cot \left(\frac{2\pi }{3}\right)+4\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)$$

Значения котангенса и синуса при $\frac{2\pi }{3}$:
$$\cot \left(\frac{2\pi }{3}\right)=0$$
$$\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Подставим значения:

$$f\left(\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{2}{\frac{2\pi }{3}}+4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{\pi }+2\sqrt{3}$$

Ответ: $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{3}{\pi }+2\sqrt{3}$.

Это и есть ответы на поставленные задачи.