1) Determine f(x) = 3cot(x) + 2sin(x) at x = π/6. 2) Find f(x) = x - 2cos(x) + 3tan(x) at x = π/4. 3) Calculate f(x

Скоростная_Бабочка

44

Решение:

1. Для первой задачи, определим функцию \( f(x) = 3\cot(x) + 2\sin(x) \) при \( x = \frac{\pi}{6} \):

\[ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 3\cot\left(\frac{\pi}{6}\right) + 2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \]

Узнаем значения тангенса и синуса в точках \( \frac{\pi}{6} \):
\[ \cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \]
\[ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \]

Теперь подставим найденные значения:

\[ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 3\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3\sqrt{3} + 1 \]

Ответ: \( f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 3\sqrt{3} + 1 \).

2. Теперь перейдем ко второй задаче, где нужно найти значение функции \( f(x) = x - 2\cos(x) + 3\tan(x) \) при \( x = \frac{\pi}{4} \):

\[ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} - 2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + 3\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \]

Значения косинуса и тангенса при \( \frac{\pi}{4} \):
\[ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \]

Подставляем значения:

\[ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \cdot 1 = \frac{\pi}{4} - \sqrt{2} + 3 \]

Ответ: \( f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} - \sqrt{2} + 3 \).

3. Для третьей задачи, необходимо вычислить значение функции \( f(x) = 2x^2 - 2\tan(x) + \sin(x) \) при \( x = \frac{3\pi}{4} \):

\[ f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 2\left(\frac{3\pi}{4}\right)^2 - 2\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \]

Узнаем значение тангенса и синуса при \( \frac{3\pi}{4} \):
\[ \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1 \]
\[ \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Подставляем значения:

\[ f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 2\left(\frac{3\pi}{4}\right)^2 - 2 \cdot (-1) + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{9\pi^2}{8} + 2 - \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Ответ: \( f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{9\pi^2}{8} + 2 - \frac{\sqrt{2}}{2} \).

4. Наконец, рассмотрим четвертую задачу, где требуется оценить функцию \( f(x) = \frac{2}{x} - 2\cot(x) + 4\sin(x) \) при \( x = \frac{2\pi}{3} \):

\[ f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{2}{\frac{2\pi}{3}} - 2\cot\left(\frac{2\pi}{3}\right) + 4\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \]

Значения котангенса и синуса при \( \frac{2\pi}{3} \):
\[ \cot\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 0 \]
\[ \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Подставим значения:

\[ f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{2}{\frac{2\pi}{3}} + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{\pi} + 2\sqrt{3} \]

Ответ: \( f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{3}{\pi} + 2\sqrt{3} \).

Это и есть ответы на поставленные задачи.