Каков синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D) в кубе ABCDA1B1C1 с ребром длиной 1 единицу

Маня

10

Давайте рассмотрим данную задачу подробнее.

У нас есть куб ABCDA1B1C1 с ребром длиной 1 единицу и точка M на ребре A1D1, при этом отношение A1M к MD1 равно 1:3.

Чтобы найти синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D), нам понадобятся некоторые геометрические соображения.

Во-первых, обратим внимание, что прямая AM проходит через вершины A1 и M, а диагональная плоскость (BB1D1D) проходит через вершины B, B1, D1 и D.

Для начала, найдем координаты точек A1 и D1. Так как A1M:MD1 = 1:3 и ребро A1D1 равно 1 единице, можно определить, что A1M равно 1/4, а MD1 равно 3/4 единицы. Поэтому координата точки A1 будет (0, 1/4, 0), а координата точки D1 - (0, 3/4, 1).

Теперь найдем координаты вершин B и B1. Так как ребро куба равно 1 единице, координата точки B будет (1, 0, 0), а координата точки B1 - (1, 1/4, 0).

Теперь, имея координаты всех точек, можем найти вектора, соединяющие точки A1 и M, а также точки B и B1:

Вектор AM = (xM - xA1, yM - yA1, zM - zA1) = (0 - 0, 1/4 - 0, zM - 0) = (0, 1/4, zM).

Вектор BB1 = (xB1 - xB, yB1 - yB, zB1 - zB) = (1 - 1, 1/4 - 0, 0 - 0) = (0, 1/4, 0).

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов:

AM · BB1 = (0)*(0) + (1/4)*(1/4) + (zM)*(0) = 1/16.

Так как скалярное произведение двух векторов равно произведению длин векторов на косинус угла между ними, то у нас есть следующее соотношение:

AM · BB1 = |AM| * |BB1| * cos(ϕ),

где |AM| и |BB1| обозначают длины векторов AM и BB1 соответственно.

Длина вектора AM равна √((0)^2 + (1/4)^2 + (zM)^2) = √(1/16 + zM^2).

Длина вектора BB1 равна √((0)^2 + (1/4)^2 + (0)^2) = 1/4.

Подставив все это в соотношение AM · BB1 = |AM| * |BB1| * cos(ϕ), получим:

1/16 = (√(1/16 + zM^2)) * (1/4) * cos(ϕ).

Теперь, чтобы найти синус угла ϕ, нам нужно найти выражение для cos(ϕ). Для этого можно воспользоваться известным тригонометрическим соотношением:

sin^2(ϕ) + cos^2(ϕ) = 1.

Заменяя cos^2(ϕ) на (1 - sin^2(ϕ)), получим:

sin^2(ϕ) + (1 - sin^2(ϕ)) = 1,

откуда следует:

1 = 1.

Стало быть, синус угла ϕ равен одному из двух значений: 1 или -1.

Однако, при решении задачи можно заметить, что прямая AM не параллельна диагональной плоскости (BB1D1D) и они пересекаются. Следовательно, угол ϕ не может быть 90 градусов, что соответствует синусу 1.

Таким образом, синус угла ϕ равен -1.

Итак, мы получаем следующий ответ:

синϕ = -√(числитель - целое число).