Каков синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью BB1D1D в кубе ABCDA1B1C1 с длиной ребра 1 ед. изм

Zvonkiy_Spasatel

60

Для решения данной задачи, нам необходимо выразить синус угла ϕ через известные данные.

Для начала, построим куб ABCDA1B1C1:

\[
\begin{{array}}{{l}}
A(0,0,0) \\
B(1,0,0) \\
C(1,1,0) \\
D(0,1,0) \\
\\
A_1(0,0,1) \\
B_1(1,0,1) \\
C_1(1,1,1) \\
D_1(0,1,1)
\end{{array}}
\]

Заметим, что прямая AM проходит через точку A1 и отрезок MD1 делится пополам. Значит, координаты точки M можно выразить следующим образом:

\[
M\left(\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2}, \frac{{z_1 + z_2}}{2}\right)
\]

где (x1, y1, z1) - координаты точки A1, а (x2, y2, z2) - координаты точки D1.

Подставляя известные значения координат, получаем:

\[
M\left(\frac{{0 + 0}}{2}, \frac{{0 + 1}}{2}, \frac{{1 + 0}}{2}\right) = M(0, 0.5, 0.5)
\]

Теперь нам необходимо найти вектор прямой AM. Для этого вычислим разность координат вектора AM:

\[
\overrightarrow{{AM}} = \overrightarrow{{M}} - \overrightarrow{{A}} = (0, 0.5, 0.5) - (0, 0, 0) = (0, 0.5, 0.5)
\]

Затем найдем вектор плоскости BB1D1D. Для этого вычислим разность координат вектора BD1:

\[
\overrightarrow{{BD_1}} = \overrightarrow{{D_1}} - \overrightarrow{{B}} = (0, 1, 1) - (1, 0, 0) = (-1, 1, 1)
\]

затем, найдем вектор плоскости BB1D1D, используя векторное произведение:

\[
\overrightarrow{{BB_1D_1D}} = \overrightarrow{{BD_1}} \times \overrightarrow{{BB_1}}
\]

Подставляя известные значения векторов:

\[
\overrightarrow{{BB_1D_1D}} = (-1, 1, 1) \times (1, 0, 0)
\]

Вычисляем векторное произведение:

\[
\overrightarrow{{BB_1D_1D}} = (0, 1, -1)
\]

Теперь, найдем синус угла ϕ между векторами AM и BB1D1D, используя следующую формулу:

\[
\sin(\phi) = \frac{{|\overrightarrow{{AM}} \times \overrightarrow{{BB_1D_1D}}|}}{{|\overrightarrow{{AM}}| \cdot |\overrightarrow{{BB_1D_1D}}|}}
\]

Вычисляем модуль векторов:

\[
|\overrightarrow{{AM}}| = \sqrt{0^2 + 0.5^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.5} \approx 0.71
\]

\[
|\overrightarrow{{BB_1D_1D}}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \approx 1.41
\]

Вычисляем модуль векторного произведения:

\[
|\overrightarrow{{AM}} \times \overrightarrow{{BB_1D_1D}}| = |\overrightarrow{{AM}}| \cdot |\overrightarrow{{BB_1D_1D}}| \cdot \sin(\phi)
\]

Подставляя известные значения:

\[
|\overrightarrow{{AM}} \times \overrightarrow{{BB_1D_1D}}| = 0.71 \cdot 1.41 \cdot \sin(\phi)
\]

Теперь, найдем значение синуса угла ϕ:

\[
\sin(\phi) = \frac{{|\overrightarrow{{AM}} \times \overrightarrow{{BB_1D_1D}}|}}{{|\overrightarrow{{AM}}| \cdot |\overrightarrow{{BB_1D_1D}}|}} = \frac{{0.71 \cdot 1.41 \cdot \sin(\phi)}}{{0.71 \cdot 1.41}}
\]

Упрощаем выражение:

\[
1 = \sin(\phi)
\]

Таким образом, синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью BB1D1D в кубе равен 1.