Каков синус угла, в направлении которого для длины волны 600 нм наблюдается максимум третьего порядка на дифракционной

Robert_7688

55

Для решения данной задачи требуется воспользоваться законом дифракции Фраунгофера для дифракционной решетки. По этому закону, для максимумов прямого порядка выполняется условие:

\[m\lambda = d \sin(\theta)\]

где \(m\) - порядок максимума, \(\lambda\) - длина волны света, \(d\) - период решетки, а \(\theta\) - угол отклонения.

Дано, что для длины волны 600 нм наблюдается максимум третьего порядка при угле 30 градусов. Угол измеряется в радианах, поэтому переведем его в радианы: \(30^\circ = \frac{\pi}{6}\).

Также дано, что для длины волны 450 нм наблюдается максимум пятого порядка. Для этого случая угол измеряется в радианах и равен \(\theta\).

Мы можем использовать эти данные, чтобы найти \(d \sin(\theta)\) для обоих случаев и равенство двух выражений для \(d \sin(\theta)\):

\[m_1 \lambda_1 = d \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\]
\[m_2 \lambda_2 = d \sin(\theta)\]

Где \(m_1 = 3\), \(m_2 = 5\), \(\lambda_1 = 600\) нм и \(\lambda_2 = 450\) нм.

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Поделим второе уравнение на первое:

\[\frac{m_2 \lambda_2}{m_1 \lambda_1} = \frac{d \sin(\theta)}{d \sin\left(\frac{\pi} {6}\right)}\]

Очевидно, что \(d\) сократится, и мы получим:

\[\frac{m_2 \lambda_2}{m_1 \lambda_1} = \frac{\sin(\theta)}{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)}\]

Решим это уравнение относительно \(\sin(\theta)\). Подставим значения:

\[\frac{5 \cdot 450}{3 \cdot 600} = \frac{\sin(\theta)}{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)}\]

Вычислим левую часть:

\[\frac{5 \cdot 450}{3 \cdot 600} = \frac{2250}{1800} = \frac{5}{4}\]

Теперь найдем \(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\) - синус угла \(\frac{\pi}{6}\). Здесь мы можем использовать табличное значение или калькулятор:

\[\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\]

Теперь, с помощью пропорции, найдем значение \(\sin(\theta)\):

\[\frac{5}{4} = \frac{\sin(\theta)}{\frac{1}{2}}\]

Помним, что отношение равносторонних треугольников заключено между соответствующими сторонами, поэтому:

\[\sin(\theta) = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{8}\]

Таким образом, синус угла \(\theta\), при котором для длины волны 600 нм наблюдается максимум третьего порядка, равен \(\frac{5}{8}\).