Каков тангенс острого угла прямоугольного треугольника, если его синус равен 0,2?

Kobra

54

Для решения этой задачи нам понадобятся определения и свойства тригонометрических функций, а также тригонометрический круг.

Первым шагом давайте вспомним определение синуса острого угла прямоугольного треугольника. Синус угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе:
\[
\sin(\theta) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}
\]

Мы знаем, что синус угла данного треугольника равен 0,2. Пусть противолежащий катет будет обозначаться как \(a\), а гипотенуза как \(c\).

Теперь воспользуемся свойствами тригонометрических функций в прямоугольных треугольниках. Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:
\[
\tan(\theta) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}}
\]

В данной задаче нам изначально неизвестен прилежащий катет, поэтому обозначим его как \(b\).

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]

Учитывая, что у нас прямоугольный треугольник и \(c\) является гипотенузой, мы можем записать:
\[
c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow b^2 = c^2 - a^2
\]

Теперь, используя определение синуса и значение \(\sin(\theta) = 0,2\), мы можем записать:
\[
\frac{a}{c} = \sin(\theta) \Rightarrow a = c \cdot \sin(\theta)
\]

Подставляем это выражение для \(a\) в предыдущее выражение для \(b^2\) и получаем:
\[
b^2 = c^2 - (c \cdot \sin(\theta))^2
\]

Используя это выражение, мы можем выразить \(b\) и подставить результат в определение тангенса:
\[
\tan(\theta) = \frac{a}{b} = \frac{c \cdot \sin(\theta)}{\sqrt{c^2 - (c \cdot \sin(\theta))^2}}
\]

Теперь мы можем подставить значение \(\sin(\theta) = 0,2\) и решить выражение для тангенса.