Каков ток в цепи, когда резистор сопротивлением R и нелинейным сопротивлением, имеющим Вольт-Амперную характеристику

Морской_Путник

51

Для решения данной задачи, давайте начнем с определения общего представления Вольт-Амперной характеристики нелинейного сопротивления.

Вольт-Амперная характеристика (ВАХ) описывает зависимость тока от напряжения в цепи. В данном случае, дано, что ВАХ имеет вид \[I = aU^2\], где \(I\) - ток в цепи, \(a\) - постоянная, \(U\) - напряжение.

Теперь рассмотрим схему цепи, которая состоит из резистора сопротивлением \(R\) и нелинейного сопротивления с ВАХ \(I = aU^2\), подключенных последовательно к источнику напряжения \(U_0\).

По определению, в последовательном соединении элементов цепи ток через каждый элемент одинаковый. Поэтому ток в цепи будет равен току, протекающему через резистор \(I_R\), так как он является единственным элементом сопротивления в цепи.

Теперь обратимся к закону Ома, который гласит, что напряжение на резисторе равно произведению тока через него на его сопротивление. Таким образом, для резистора сопротивлением \(R\) выполняется условие:

\[U_R = I_R \cdot R\]

Так как ток через резистор \(I_R\) равен току в цепи, заменим \(I_R\) на \(I\) и получим:

\[U_R = I \cdot R \quad (1)\]

Так как у нас имеется нелинейное сопротивление с ВАХ \(I = aU^2\), можно заменить ток в цепи \(I\) на эту зависимость:

\[U_R = aU^2 \cdot R \quad (2)\]

Теперь воспользуемся законом Кирхгофа для напряжений в замкнутом контуре. По закону Кирхгофа сумма напряжений в замкнутом контуре равна нулю. В нашей цепи есть только источник напряжения \(U_0\) и напряжение на резисторе \(U_R\), поэтому можем записать:

\[U_0 - U_R = 0 \quad (3)\]

Теперь подставим уравнение (2) в уравнение (3):

\[U_0 - aU^2 \cdot R = 0\]

Данное уравнение является квадратным относительно переменной \(U\). Мы можем решить его, используя квадратное уравнение:

\[U^2 - \frac{U_0}{aR} = 0\]

Квадратное уравнение может иметь два решения:

\[U_1 = \sqrt{\frac{U_0}{aR}}, \quad U_2 = -\sqrt{\frac{U_0}{aR}}\]

Так как нам нужно определить ток в цепи, возьмем только положительное решение:

\[U = \sqrt{\frac{U_0}{aR}}\]

Теперь, чтобы найти ток в цепи, подставим значение \(U\) в уравнение (2):

\[I = aU^2 = a \cdot \left(\sqrt{\frac{U_0}{aR}}\right)^2 = \frac{U_0}{R}\]

Таким образом, ток в цепи, когда резистор сопротивлением \(R\) и нелинейным сопротивлением с ВАХ \(I = aU^2\) подключены последовательно к источнику напряжения \(U_0\), будет равен \(\frac{U_0}{R}\).

Пожалуйста, обратите внимание, что решение получено на основе предоставленной информации.