Каков угол между диагоналями трапеции abcd, где ad параллельна bc, если точка м является серединой bc и точка

Putnik_S_Zvezdoy

31

Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойства параллельных прямых и серединных перпендикуляров.

По условию задачи, отношение длин сторон трапеции $bc:ad:mn$ равно 1 : 3. Предположим, что длина стороны $bc$ равна $x$. Тогда длина стороны $ad$ будет равна $3x$, а длина отрезка $mn$ будет равна $\frac{x}{2}$.

Так как точка $м$ является серединой отрезка $bc$, то отрезки $bm$ и $mc$ будут равными. Аналогично, точка $n$ является серединой отрезка $ad$, поэтому отрезки $an$ и $nd$ также будут равными.

Согласно свойству параллельных прямых, отрезки $bm$ и $an$ являются серединными перпендикулярами к сторонам $ad$ и $bc$ соответственно. Так как основание $bc$ больше основания $ad$ в 3 раза, то серединные перпендикуляры также будут иметь отношение 1 : 3.

Изобразим на рисунке все известные отрезки и углы:

$$\begin{array}{cccccccccc}& & & b& & & & c& & \\ & & \underset{―}{}& \uparrow & \underset{―}{}& \uparrow & \underset{―}{}& \uparrow & \underset{―}{}& \uparrow \\ & m& & & a& & & & n& \\ & \downarrow & \mathrm{\_}& & \downarrow & \mathrm{\_}& & \downarrow & \mathrm{\_}& \\ & & d& & & & & & \end{array}$$

Так как отрезки $bm$ и $an$ являются серединными перпендикулярами, то углы $amb$ и $and$ будут равными. А также углы $amb$ и $bac$ являются вертикальными углами и, следовательно, равными.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник $amb$. У него известны две стороны: $am=\frac{3x}{2}$ и $ab=x$. Мы также знаем, что угол $amb$ равен углу $bac$.

Для нахождения этого угла мы можем использовать косинусную теорему для треугольника $amb$:

$$\cos (\mathrm{\angle }amb)=\frac{a{m}^2+a{b}^2-m{b}^2}{2\cdot am\cdot ab}$$

Подставляем известные значения:

$$\cos (\mathrm{\angle }amb)=\frac{{\left(\frac{3x}{2}\right)}^2+x^2-{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}{2\cdot \frac{3x}{2}\cdot x}$$

Упрощаем выражение:

$$\cos (\mathrm{\angle }amb)=\frac{\frac{9x^2}{4}+x^2-\frac{x^2}{4}}{3x^2}$$

$$\cos (\mathrm{\angle }amb)=\frac{\frac{9x^2}{4}+\frac{3x^2}{4}}{3x^2}$$

$$\cos (\mathrm{\angle }amb)=\frac{\frac{12x^2}{4}}{3x^2}$$

$$\cos (\mathrm{\angle }amb)=\frac{12}{12}$$

$$\cos (\mathrm{\angle }amb)=1$$

Таким образом, $\mathrm{\angle }amb$ равен 0 градусов.

Следовательно, угол между диагоналями трапеции равен 0 градусов.