Каков угол между диагоналями трапеции abcd, где ad параллельна bc, если точка м является серединой bc и точка

Putnik_S_Zvezdoy

31

Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойства параллельных прямых и серединных перпендикуляров.

По условию задачи, отношение длин сторон трапеции \(bc : ad : mn\) равно 1 : 3. Предположим, что длина стороны \(bc\) равна \(x\). Тогда длина стороны \(ad\) будет равна \(3x\), а длина отрезка \(mn\) будет равна \(\frac{x}{2}\).

Так как точка \(м\) является серединой отрезка \(bc\), то отрезки \(bm\) и \(mc\) будут равными. Аналогично, точка \(n\) является серединой отрезка \(ad\), поэтому отрезки \(an\) и \(nd\) также будут равными.

Согласно свойству параллельных прямых, отрезки \(bm\) и \(an\) являются серединными перпендикулярами к сторонам \(ad\) и \(bc\) соответственно. Так как основание \(bc\) больше основания \(ad\) в 3 раза, то серединные перпендикуляры также будут иметь отношение 1 : 3.

Изобразим на рисунке все известные отрезки и углы:

\[
\begin{array}{cccccccccc}
& & & b & & & & c & & \\
& & \underline{\hspace{1cm}} & \uparrow & \underline{\hspace{2cm}} & \uparrow & \underline{\hspace{1cm}} & \uparrow & \underline{\hspace{2cm}} & \uparrow \\
& m & & & a & & & & n & \\
& \downarrow & \_ & & \downarrow & \_ & & \downarrow & \_ & \\
& & d & & & & & & \\
\end{array}
\]

Так как отрезки \(bm\) и \(an\) являются серединными перпендикулярами, то углы \(amb\) и \(and\) будут равными. А также углы \(amb\) и \(bac\) являются вертикальными углами и, следовательно, равными.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник \(amb\). У него известны две стороны: \(am = \frac{3x}{2}\) и \(ab = x\). Мы также знаем, что угол \(amb\) равен углу \(bac\).

Для нахождения этого угла мы можем использовать косинусную теорему для треугольника \(amb\):

\[
\cos(\angle amb) = \frac{am^2 + ab^2 - mb^2}{2 \cdot am \cdot ab}
\]

Подставляем известные значения:

\[
\cos(\angle amb) = \frac{\left(\frac{3x}{2}\right)^2 + x^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2}{2 \cdot \frac{3x}{2} \cdot x}
\]

Упрощаем выражение:

\[
\cos(\angle amb) = \frac{\frac{9x^2}{4} + x^2 - \frac{x^2}{4}}{3x^2}
\]

\[
\cos(\angle amb) = \frac{\frac{9x^2}{4} + \frac{3x^2}{4}}{3x^2}
\]

\[
\cos(\angle amb) = \frac{\frac{12x^2}{4}}{3x^2}
\]

\[
\cos(\angle amb) = \frac{12}{12}
\]

\[
\cos(\angle amb) = 1
\]

Таким образом, \(\angle amb\) равен 0 градусов.

Следовательно, угол между диагоналями трапеции равен 0 градусов.