Каков угол между плоскостью основания и боковой поверхностью правильной четырёхугольной пирамиды, если площадь боковой

Яблонька

70

Чтобы решить данную задачу, нам понадобятся некоторые сведения о правильной четырёхугольной пирамиде.

Правильная четырёхугольная пирамида - это пирамида, у которой основание является четырехугольником, все стороны которого равны, и все углы основания прямые.

В данной задаче известна площадь боковой поверхности пирамиды, которая равна 16, и площадь основания, которая равна 8.

Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти по формуле:
\[S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l,\]
где \(P_{осн}\) - периметр основания пирамиды, а \(l\) - длина боковой грани пирамиды.

Площадь основания можно найти по формуле:
\[S_{осн} = a^2,\]
где \(a\) - длина стороны основания.

Теперь подставим данные в формулы. Из условия задачи известно, что \(S_{бок} = 16\) и \(S_{осн} = 8\).

Для начала найдем длину боковой грани пирамиды \(l\). Периметр основания можно найти, умножив длину одной стороны на количество сторон, так как у правильной четырёхугольной пирамиды все стороны основания равны:
\[P_{осн} = 4 \cdot a = 4a.\]
Подставляя это значение в формулу площади боковой поверхности, получим:
\[16 = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot l.\]
Делим обе части уравнения на 2 и \(4a\):
\[8 = al.\]

Теперь найдём длину стороны основания \(a\). Для этого возведем в квадрат площадь основания:
\[8 = a^2.\]
Извлекаем квадратный корень из обоих частей:
\[a = \sqrt{8}.\]

Подставим найденное значение \(a\) в уравнение для длины боковой грани:
\[8 = \sqrt{8} \cdot l.\]
Решим это уравнение, разделив обе части на \(\sqrt{8}\):
\[l = \frac{8}{\sqrt{8}} = \frac{8}{2\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}.\]

Теперь, чтобы найти угол между плоскостью основания и боковой поверхностью пирамиды, нам понадобится теорема синусов. По этой теореме, отношение высоты пирамиды к длине боковой грани составляет синус угла между плоскостью основания и боковой поверхностью пирамиды:
\[\sin(\alpha) = \frac{h}{l}.\]

Мы знаем, что площадь основания равна 8. Для правильной четырёхугольной пирамиды с площадью основания равной 8, высота пирамиды и высота боковой грани равны. Значит, \(h = l\), и угол \(\alpha\) между плоскостью основания и боковой поверхностью пирамиды равен:
\[\sin(\alpha) = \frac{l}{l} = 1.\]

Так как \(\sin(\alpha) = 1\), значит, угол \(\alpha\) равен 90 градусов.

Итак, угол между плоскостью основания и боковой поверхностью правильной четырёхугольной пирамиды равен 90 градусам.