Каков угол между прямой и плоскостью? Как найти угол между cd и плоскостью abd? Необходим ход построения данных углов

Золотая_Завеса_3042

35

Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, мы можем использовать следующий метод:

1. Возьмите векторное произведение нормального вектора плоскости и направляющего вектора прямой.

Пусть \(\vec{n}\) - это нормальный вектор плоскости, а \(\vec{d}\) - направляющий вектор прямой. Тогда векторное произведение \(\vec{n}\) и \(\vec{d}\) можно найти по формуле:

\(\vec{n} \times \vec{d}\) = \(\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ n_1 & n_2 & n_3 \\ d_1 & d_2 & d_3 \end{vmatrix}\)

где \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), и \(\vec{k}\) - это единичные векторы базиса, а \(n_1\), \(n_2\), \(n_3\), \(d_1\), \(d_2\), \(d_3\) - компоненты векторов \(\vec{n}\) и \(\vec{d}\) соответственно.

2. Вычислите длину вектора, полученного в результате векторного произведения, найденного на предыдущем шаге. Обозначим эту длину как \(|\vec{n} \times \vec{d}|\).

3. Найдите длину вектора \(\vec{d}\) (|d|).

4. Используя формулу косинуса, найдите угол между прямой и плоскостью:

\(\cos \theta\) = \(\frac{{|\vec{n} \times \vec{d}|}}{{|\vec{d}|}}\)

где \(\theta\) - искомый угол.

5. Наконец, найдите значение угла \(\theta\) с помощью обратной функции косинуса (арккосинуса):

\(\theta\) = \(\arccos \left(\frac{{|\vec{n} \times \vec{d}|}}{{|\vec{d}|}}\right)\)

Вот пошаговое решение задачи на примере нахождения угла между прямой cd и плоскостью abd:

1. Найдем нормальный вектор плоскости abd и направляющий вектор прямой cd.
Пусть вектор ab = \(\langle x_1, y_1, z_1 \rangle\), вектор ad = \(\langle x_2, y_2, z_2 \rangle\), а направляющий вектор прямой cd = \(\langle x_3, y_3, z_3 \rangle\).
Тогда нормальный вектор плоскости abd равен векторному произведению ab и ad:

\(\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}\)

А направляющий вектор прямой cd равен cd:

\(\vec{d} = \langle x_3, y_3, z_3 \rangle\)

2. Найдем длину вектора \(\vec{n}\):

\(|\vec{n}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}\)

3. Найдем длину вектора \(\vec{d}\):

\(|\vec{d}| = \sqrt{x_3^2 + y_3^2 + z_3^2}\)

4. Вычислим значение угла \(\theta\) с помощью формулы косинуса:

\(\cos \theta\) = \(\frac{{|\vec{n} \times \vec{d}|}}{{|\vec{d}|}}\)

5. Найдем угол \(\theta\) с помощью обратной функции косинуса:

\(\theta\) = \(\arccos \left(\frac{{|\vec{n} \times \vec{d}|}}{{|\vec{d}|}}\right)\)

Таким образом, решение задачи на нахождение угла между прямой cd и плоскостью abd состоит из построения нормального вектора плоскости, найдения направляющего вектора прямой и применения формулы косинуса.