Какова длина высоты CD треугольника, если известны две стороны AB = 3p - 4q и BC = p + 5q, а также известно, что p

Timur

8

Чтобы найти длину высоты CD треугольника ABC, мы можем воспользоваться формулой для высоты треугольника, которая гласит:

\[h = \frac{{2 \times \text{{площадь треугольника}}}}{{\text{{основание треугольника}}}}\]

Сначала нам нужно найти площадь треугольника ABC. Для этого можно воспользоваться формулой Герона, которая гласит:

\[S = \sqrt{{p \cdot (p - AB) \cdot (p - BC) \cdot (p - AC)}}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, а эквивалентно сумме длин всех его сторон, деленной на 2:

\[p = \frac{{AB + BC + AC}}{2}\]

Теперь давайте посчитаем:

\[
p = \frac{{(3p - 4q) + (p + 5q) + AC}}{2} \Rightarrow p = 2p + 2q + AC
\]

Отсюда можем выразить \(AC\):

\[
AC = p - 2p - 2q \Rightarrow AC = -p - 2q
\]

Теперь, используя найденное значение \(AC\), выразим площадь треугольника:

\[
S = \sqrt{{\left(p \cdot (p - (3p - 4q)) \cdot (p - (p + 5q)) \cdot (p - (-p - 2q))\right)}}
\]

\[
S = \sqrt{{(p \cdot (-2p + 4q) \cdot (p - p - 5q) \cdot (p + p + 2q))}} = \sqrt{{(4pq \cdot 4q \cdot 4p)}} = 8pq \sqrt{{pq}}
\]

Теперь, когда у нас есть площадь треугольника, мы можем найти длину высоты, подставив все в формулу для высоты:

\[
h = \frac{{2 \cdot 8pq \sqrt{{pq}}}}{{BC}} = \frac{{16pq \sqrt{{pq}}}}{{p + 5q}}
\]

Итак, длина высоты CD треугольника ABC равна \(\frac{{16pq \sqrt{{pq}}}}{{p + 5q}}\).