Каков угол между прямыми, заданными уравнениями 5х+4у-31=0 и 2у-3х+1=0?

Zolotaya_Pyl

58

Для определения угла между прямыми, заданными уравнениями, нам понадобится использовать формулу, основанную на свойствах скалярного произведения векторов.

Давайте начнем с нахождения направляющих векторов для каждой из прямых. Для этого нам нужно записать данные уравнения в общем виде \( Ax + By + C = 0 \), где A, B и C - коэффициенты уравнения.

Таким образом, уравнение \(5х + 4у - 31 = 0\) можно переписать в виде \(5х + 4у - 31 = 0\), а уравнение \(2у - 3х + 1 = 0\) - в виде \(3х - 2у + 1 = 0\).

Из общего вида уравнения можно сделать вывод, что коэффициенты A, B и C равны \(A_1 = 5\), \(B_1 = 4\), \(C_1 = -31\) для первой прямой и \(A_2 = 3\), \(B_2 = -2\), \(C_2 = 1\) для второй прямой.

Направляющие векторы для прямых определяются коэффициентами A и B уравнений. Для первой прямой направляющий вектор будет иметь координаты \(v_1 = (A_1, B_1) = (5, 4)\), а для второй прямой - \(v_2 = (A_2, B_2) = (3, -2)\).

Затем найдем скалярное произведение этих двух векторов, используя формулу скалярного произведения \(v_1 \cdot v_2 = |v_1| \cdot |v_2| \cdot \cos(\theta)\), где \(|v_1|\) и \(|v_2|\) - длины соответствующих векторов, а \(\theta\) - угол между ними.

Длина вектора определяется по формуле \(\sqrt{A^2 + B^2}\), где A и B - координаты вектора.

Давайте посчитаем все значения и найдем искомый угол между прямыми: