1. Какое решение имеет неравенство: (3/4)^x больше (4/3)? 2. Какое решение имеет неравенство: а) квадратный корень

Пылающий_Дракон

23

1. Для решения данного неравенства \((\frac{3}{4})^x > \frac{4}{3}\) начнём с приведения обеих сторон к общему знаменателю, чтобы упростить вычисления. Умножим обе части неравенства на \((\frac{4}{3})^x\):

\[(\frac{3}{4})^x \cdot (\frac{4}{3})^x > \frac{4}{3} \cdot (\frac{4}{3})^x\]

Теперь равносторонними степенями с различными основаниями можно пользоваться свойством степени, которое гласит, что \(a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m\). Применим это свойство к левой части неравенства:

\[(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3})^x > \frac{4}{3} \cdot (\frac{4}{3})^x\]

Приведя дроби внутри скобок, получаем:

\[(1)^x > \frac{4}{3} \cdot (\frac{4}{3})^x\]

1 в любой степени равно 1, поэтому значение на левой стороне остаётся неизменным. Мы можем записать:

\[1 > \frac{4}{3} \cdot (\frac{4}{3})^x\]

Теперь у нас есть неравенство, которое не содержит переменных в знаменателе. Для дальнейшего решения можно сделать следующий шаг: разделить обе части неравенства на \(\frac{4}{3}\):

\[\frac{1}{\frac{4}{3}} > (\frac{4}{3})^x\]

Помни, что деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь:

\[\frac{1}{\frac{4}{3}} = 1 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}\]

Теперь неравенство имеет вид:

\[\frac{3}{4} > (\frac{4}{3})^x\]

Данное неравенство можно интерпретировать так: если число меньше \(\frac{4}{3}\), возведённое в степень \(x\), то это число меньше \(\frac{3}{4}\). Для решения данного неравенства, нам нужно найти значения \(x\), для которых это выполняется.

2. а) Для решения неравенства \(\sqrt{5}^x - 6 < \frac{1}{5}\) начнём с добавления 6 к обеим частям неравенства:

\[\sqrt{5}^x < \frac{1}{5} + 6\]

Определим значение правой части:

\[\frac{1}{5} + 6 = \frac{1}{5} + \frac{30}{5} = \frac{31}{5} = 6 \frac{1}{5}\]

Теперь у нас есть:

\[\sqrt{5}^x < 6 \frac{1}{5}\]

Для решения данного неравенства возведём обе части в квадрат:

\[(\sqrt{5}^x)^2 < (6 \frac{1}{5})^2\]

\[(\sqrt{5}^2)^x < 37 \frac{1}{25}\]

\[5^x < 37 \frac{1}{25}\]

Теперь мы можем выразить \(5^x\) в десятичной форме:

\[5^x < 37.04\]

Данное неравенство означает, что для всех значений \(x\), для которых \(5^x < 37.04\), неравенство \(\sqrt{5}^x - 6 < \frac{1}{5}\) выполняется.

2. б) Для решения неравенства \((\frac{2}{13})^{(x^2 - 1)} \geq 0\) заметим, что \(2/13\) является положительным числом, то есть \((\frac{2}{13})^n > 0\) для любого \(n\).

То есть данное неравенство выполняется для любых значений \(x^2 - 1\), так как \((\frac{2}{13})^{(x^2 - 1)}\) всегда будет положительным числом или нулём.