Каков угол между векторами ab(2; 0) и cd(-2; 2)? Каков угол между прямыми

Shnur

9

Чтобы найти угол между векторами \(\mathbf{ab} = (2, 0)\) и \(\mathbf{cd} = (-2, 2)\), мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:

\[\cos(\theta) = \frac{\mathbf{ab} \cdot \mathbf{cd}}{\|\mathbf{ab}\| \|\mathbf{cd}\|}\]

Где \(\mathbf{ab} \cdot \mathbf{cd}\) - скалярное произведение векторов \(\mathbf{ab}\) и \(\mathbf{cd}\), а \(\|\mathbf{ab}\|\) и \(\|\mathbf{cd}\|\) - модули (длины) векторов \(\mathbf{ab}\) и \(\mathbf{cd}\) соответственно.

Начнем с вычисления скалярного произведения \(\mathbf{ab} \cdot \mathbf{cd}\):

\(\mathbf{ab} \cdot \mathbf{cd} = (2 \cdot -2) + (0 \cdot 2) = -4\)

Затем найдем модули векторов \(\mathbf{ab}\) и \(\mathbf{cd}\):

\(\|\mathbf{ab}\| = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2\)

\(\|\mathbf{cd}\| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)

Теперь мы можем использовать найденные значения, чтобы вычислить косинус угла:

\(\cos(\theta) = \frac{-4}{2 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-2\sqrt{2}}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -1\)

Так как косинус угла равен -1, мы можем заключить, что угол между векторами \(\mathbf{ab}\) и \(\mathbf{cd}\) равен 180 градусов или \(\pi\) радиан.

Чтобы найти угол между прямыми, для начала нужно выразить их в виде векторных уравнений или параметрических уравнений, затем найти вектора направления каждой прямой и применить формулу для нахождения угла между векторами, как мы делали ранее. Можете предоставить уравнения прямых, и я смогу помочь вам найти угол между ними.