Каков угол между векторами KE, если даны точки K(0; - 2; 1), E (√2; - 1

Лиса

67

Чтобы найти угол между векторами KE, нам понадобится некоторая математика. Давайте начнем решать эту задачу пошагово.

Первый шаг - найдем вектор KE. Для этого вычитаем координаты начальной точки из координат конечной точки. В данном случае:

\[\overrightarrow{KE} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{K}\]

\[\overrightarrow{KE} = (\sqrt{2}; -1; 0) - (0; -2; 1)\]

\[\overrightarrow{KE} = (\sqrt{2}; -1-(-2); 0-1)\]

\[\overrightarrow{KE} = (\sqrt{2}; 1; -1)\]

Второй шаг - найдем длины векторов KE и K. Для нахождения длины вектора используется формула:

\[|\overrightarrow{V}| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2 + V_z^2}\]

Где \(V_x\), \(V_y\), \(V_z\) - координаты вектора.

Длина вектора KE равна:

\[|\overrightarrow{KE}| = \sqrt{{(\sqrt{2})}^2 + 1^2 + (-1)^2}\]

\[|\overrightarrow{KE}| = \sqrt{2 + 1 + 1}\]

\[|\overrightarrow{KE}| = \sqrt{4}\]

\[|\overrightarrow{KE}| = 2\]

Длина вектора K равна:

\[|\overrightarrow{K}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 1^2}\]

\[|\overrightarrow{K}| = \sqrt{4 + 1}\]

\[|\overrightarrow{K}| = \sqrt{5}\]

Третий шаг - найдем скалярное произведение векторов KE и K. Скалярное произведение векторов определяется следующей формулой:

\[\overrightarrow{KE} \cdot \overrightarrow{K} = KE_x \cdot K_x + KE_y \cdot K_y + KE_z \cdot K_z\]

В данном случае:

\[\overrightarrow{KE} \cdot \overrightarrow{K} = (\sqrt{2} \cdot 0) + (1 \cdot -2) + (-1 \cdot 1)\]

\[\overrightarrow{KE} \cdot \overrightarrow{K} = -2 - 1\]

\[\overrightarrow{KE} \cdot \overrightarrow{K} = -3\]

Четвертый шаг - найдем значение косинуса угла между векторами. Косинус угла между векторами вычисляется с использованием скалярного произведения:

\[\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{KE} \cdot \overrightarrow{K}}{|\overrightarrow{KE}| \cdot |\overrightarrow{K}|}\]

\[\cos(\theta) = \frac{-3}{2 \cdot \sqrt{5}}\]

Пятый шаг - найдем значение самого угла. Для этого возьмем обратный косинус от полученного значения косинуса:

\[\theta = \arccos\left(\frac{-3}{2 \cdot \sqrt{5}}\right)\]

Итак, полученное значение угла \(\theta\) между векторами KE составляет:

\[\theta = 143.13^\circ\]

Ответ: Угол между векторами KE составляет приблизительно \(143.13^\circ\).