Сколько различных башен из десяти этажей может построить Петя, ставя на каждый этаж либо столько же кубиков, сколько

Svetlyachok

24

Эта задача представляет собой классическую пример задачи на комбинаторику, известную как задача о башнях из кубиков.

Давайте рассмотрим ее подробнее и найдем все возможные варианты.

У нас есть 10 этажей, и на каждом этаже Петя может поставить либо столько же кубиков, сколько на предыдущем этаже, либо меньше. Для удобства, давайте представим, что на каждом этаже у Пети есть определенное количество кубиков.

На первом этаже Петя может поставить от 1 до 10 кубиков - это все возможные варианты. Пусть \(a_1\) обозначает количество кубиков на первом этаже.

На втором этаже у Пети может быть от 1 до \(a_1\) кубиков - это все возможные варианты. Пусть \(a_2\) обозначает количество кубиков на втором этаже.

Аналогично, на третьем этаже у Пети может быть от 1 до \(a_2\) кубиков, и так далее, пока мы не достигнем 10-го этажа.

Таким образом, наша задача сводится к нахождению количества различных вариантов для каждого этажа.

1. На первом этаже у нас есть 10 возможных вариантов:
\[a_1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\]

2. На втором этаже у нас есть возможные варианты для каждого значения \(a_1\):
\[\begin{align*}
a_1 = 1 & : a_2 = 1 \\
a_1 = 2 & : a_2 = 1, 2 \\
a_1 = 3 & : a_2 = 1, 2, 3 \\
\ldots \\
a_1 = 10 & : a_2 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
\end{align*}\]

3. Продолжая этот процесс для каждого этажа, мы получим следующие возможные значения:

\[a_3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\]
\[a_4 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\]
\[a_5 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\]
\[a_6 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\]
\[a_7 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\]
\[a_8 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\]
\[a_9 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\]
\[a_{10} = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\]

Теперь давайте посчитаем общее количество различных башен, которые может построить Петя на своей фабрике кубиков.

У нас есть 10 возможных значений для каждого этажа, поэтому общее количество различных башен будет равно произведению этих значений.

\[10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^{10}\]

Таким образом, Петя может построить \(10^{10}\) различных башен из десяти этажей, используя условия задачи.

Надеюсь, этот подробный ответ помогает вам понять, как мы пришли к этому результату!