Каков угол между векторами полного ускорения и скорости твердого тела для произвольной точки через время t после начала

Полина

16

Чтобы найти угол между векторами полного ускорения и скорости твердого тела, нам нужно выразить эти векторы через другие параметры и затем использовать соответствующие формулы для нахождения угла между ними.

Для начала рассмотрим скорость тела. Мы знаем, что скорость - это производная по времени от вектора перемещения тела. Если тело вращается вокруг неподвижной оси, скорость будет равна произведению радиуса вектора х продолжительности углового перемещения. В данном случае угол φ зависит от времени t и задан соотношением φ = at^3.

Чтобы выразить скорость через время t, нам нужно найти производную от угла φ по времени t, то есть \(\dot{\phi}\). Произведем дифференцирование по времени:

\[\dot{\phi} = 3at^2\]

Теперь, мы можем записать вектор скорости как:

\[v = R \cdot \dot{\phi}\]

где R - радиус вектора, определяющий расстояние до оси вращения.

Теперь рассмотрим полное ускорение. Полное ускорение состоит из центростремительного ускорения и касательного ускорения. Центростремительное ускорение связано с угловым перемещением и определяется как \(a_c = R \cdot \dot{\phi}^2\). Касательное ускорение связано с изменением скорости и определяется как \(a_t = R \cdot \ddot{\phi}\), где \(\ddot{\phi}\) - это вторая производная от угла φ по времени t.

Продифференцируем полученное уравнение \(\dot{\phi}\) по времени еще раз, чтобы найти вторую производную \(\ddot{\phi}\):

\[\ddot{\phi} = 6at\]

Теперь мы можем записать вектор полного ускорения:

\[a = a_t + a_c = R \cdot \ddot{\phi} + R \cdot \dot{\phi}^2 = R(6at + (3at^2)^2)\]

Теперь у нас есть выражение для векторов полного ускорения и скорости. Чтобы найти угол между ними, мы можем воспользоваться следующей формулой:

\[\cos \theta = \frac{a \cdot v}{|a| \cdot |v|}\]

где \(\theta\) - искомый угол, \(\cdot\) обозначает скалярное произведение векторов, \(|\cdot|\) обозначает длину вектора.

Заменим выражения для векторов a и v в этой формуле:

\[\cos \theta = \frac{(R(6at + (3at^2)^2)) \cdot (R \cdot \dot{\phi})}{{|R(6at + (3at^2)^2)|} \cdot {|R \cdot \dot{\phi}|}}\]

Далее сократим общие множители:

\[\cos \theta = \frac{(6at + (3at^2)^2) \cdot \dot{\phi}}{{6at + (3at^2)^2)^{1/2} \cdot \dot{\phi}}}\]

Теперь видим, что множители \(\dot{\phi}\) сокращаются, и мы получаем следующую формулу для нахождения косинуса угла между векторами полного ускорения и скорости:

\[\cos \theta = \frac{(6at + (3at^2)^2)}{{(6at + (3at^2)^2)^{1/2}}}\]

Окончательный ответ будет:

\[\theta = \arccos{\left(\frac{(6at + (3at^2)^2)}{{(6at + (3at^2)^2)^{1/2}}}\right)}\]

Таким образом, угол между векторами полного ускорения и скорости для произвольной точки через время t после начала движения будет равен \(\arccos{\left(\frac{(6at + (3at^2)^2)}{{(6at + (3at^2)^2)^{1/2}}}\right)}\).