Какое количество теплоты q выделилось в проводящем витке диаметром d=12 см, если его сопротивление r=4,2 ом, он выведен

Магическая_Бабочка_3529

63

Для решения данной задачи, мы можем использовать закон электромагнитной индукции Фарадея, который гласит, что величина электрической силы тока, индуцированного в проводнике, прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока через площадь, охваченную контуром проводника.

Математически он выражается следующим образом:

\[ \varepsilon = -\frac{{d\Phi}}{{dt}} \]

где \(\varepsilon\) - электродвижущая сила (ЭДС) индукции, \(\frac{{d\Phi}}{{dt}}\) - скорость изменения магнитного потока через площадь проводника.

Теперь подставим известные значения в данную формулу:

\[ \varepsilon = -\frac{{d\Phi}}{{dt}} \]

Для витка, площадь которого равна \(S = \pi \left(\frac{{d}}{{2}}\right)^2\), магнитный поток через который равен \(\Phi = BS\), где \(B\) - индукция магнитного поля, а \(t\) - время.

Теперь выразим скорость изменения магнитного потока через такой виток:

\[ \frac{{d\Phi}}{{dt}} = B \cdot \frac{{dS}}{{dt}} \]

Поскольку диаметр провода уменьшается со временем, тогда \(\frac{{dS}}{{dt}} < 0\), поэтому:

\[ \frac{{d\Phi}}{{dt}} = - B \cdot \frac{{dS}}{{dt}} \]

Теперь, используя формулу для площади витка \(S = \pi \left(\frac{{d}}{{2}}\right)^2\), найдем производную:

\[ \frac{{dS}}{{dt}} = \pi \cdot 2 \cdot \frac{{d}}{{2}} \cdot \frac{{dd}}{{dt}} = \pi \cdot d \cdot \frac{{dd}}{{dt}} \]

Объединим все вместе:

\[ \frac{{d\Phi}}{{dt}} = - B \cdot \frac{{dS}}{{dt}} = -B \cdot \pi \cdot d \cdot \frac{{dd}}{{dt}} \]

Теперь мы можем найти ЭДС индукции:

\[ \varepsilon = -\frac{{d\Phi}}{{dt}} = -(-B \cdot \pi \cdot d \cdot \frac{{dd}}{{dt}}) = B \cdot \pi \cdot d \cdot \frac{{dd}}{{dt}} \]

Согласно закону Ома, ток в цепи равен отношению электродвижущей силы к сопротивлению цепи:

\[ I = \frac{{\varepsilon}}{{R}} \]

где \( I \) - сила тока, \( R \) - сопротивление.

Теперь, найдем силу тока:

\[ I = \frac{{\varepsilon}}{{R}} = \frac{{B \cdot \pi \cdot d \cdot \frac{{dd}}{{dt}}}}{{R}} \]

Теперь мы можем выразить выделившуюся теплоту по формуле:

\[ q = I^2 \cdot R \]

Подставим известные значения и выполним расчеты:

\[ q = \left(\frac{{B \cdot \pi \cdot d \cdot \frac{{dd}}{{dt}}}}{{R}}\right)^2 \cdot R \]

\[ q = \left(\frac{{B \cdot \pi \cdot d \cdot \frac{{dd}}{{dt}}}}{{R}}\right)^2 \cdot R \]

\[ q = \left(\frac{{0.50 \, \text{Тл} \cdot \pi \cdot 0.12 \, \text{м} \cdot \frac{{0.12 \, \text{м}} \cdot \frac{{m}}{{s}}}}{{4.2 \, \text{Ом}}}}\right)^2 \cdot 4.2 \, \text{Ом} \]

\[ q \approx 3.683 \, \text{Дж} \]

Таким образом, выделенное количество теплоты \( q \) равно примерно 3.683 Дж.