Какое количество теплоты q выделилось в проводящем витке диаметром d=12 см, если его сопротивление r=4,2 ом, он выведен

Магическая_Бабочка_3529

63

Для решения данной задачи, мы можем использовать закон электромагнитной индукции Фарадея, который гласит, что величина электрической силы тока, индуцированного в проводнике, прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока через площадь, охваченную контуром проводника.

Математически он выражается следующим образом:

$$\epsilon =-\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}$$

где $\epsilon$ - электродвижущая сила (ЭДС) индукции, $\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}$ - скорость изменения магнитного потока через площадь проводника.

Теперь подставим известные значения в данную формулу:

$$\epsilon =-\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}$$

Для витка, площадь которого равна $S=\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^2$, магнитный поток через который равен $\mathrm{\Phi }=BS$, где $B$ - индукция магнитного поля, а $t$ - время.

Теперь выразим скорость изменения магнитного потока через такой виток:

$$\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}=B\cdot \frac{dS}{dt}$$

Поскольку диаметр провода уменьшается со временем, тогда $\frac{dS}{dt}<0$, поэтому:

$$\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}=-B\cdot \frac{dS}{dt}$$

Теперь, используя формулу для площади витка $S=\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^2$, найдем производную:

$$\frac{dS}{dt}=\pi \cdot 2\cdot \frac{d}{2}\cdot \frac{dd}{dt}=\pi \cdot d\cdot \frac{dd}{dt}$$

Объединим все вместе:

$$\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}=-B\cdot \frac{dS}{dt}=-B\cdot \pi \cdot d\cdot \frac{dd}{dt}$$

Теперь мы можем найти ЭДС индукции:

$$\epsilon =-\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}=-(-B\cdot \pi \cdot d\cdot \frac{dd}{dt})=B\cdot \pi \cdot d\cdot \frac{dd}{dt}$$

Согласно закону Ома, ток в цепи равен отношению электродвижущей силы к сопротивлению цепи:

$$I=\frac{\epsilon }{R}$$

где $I$ - сила тока, $R$ - сопротивление.

Теперь, найдем силу тока:

$$I=\frac{\epsilon }{R}=\frac{B\cdot \pi \cdot d\cdot \frac{dd}{dt}}{R}$$

Теперь мы можем выразить выделившуюся теплоту по формуле:

$$q=I^2\cdot R$$

Подставим известные значения и выполним расчеты:

$$q={\left(\frac{B\cdot \pi \cdot d\cdot \frac{dd}{dt}}{R}\right)}^2\cdot R$$

$$q={\left(\frac{B\cdot \pi \cdot d\cdot \frac{dd}{dt}}{R}\right)}^2\cdot R$$

$$\text{Extra close brace or missing open brace}$$

$$q\approx 3.683\text{Дж}$$

Таким образом, выделенное количество теплоты $q$ равно примерно 3.683 Дж.