Каков угол в градусах между диагоналями четырёхугольника с вершинами А(1; 5), В(4; 8), С(3;7), D(8; 12)?

Вероника

67

Чтобы найти угол между диагоналями четырёхугольника, мы можем воспользоваться свойством диагоналей, которое гласит, что угол между диагоналями равен половине разности углов, которые диагонали образуют с одной из вершин.

Для начала, давайте найдем координаты середины одной из сторон четырёхугольника. Выберем сторону AB. Чтобы найти середину стороны, нужно просуммировать соответствующие координаты и разделить результат на 2. Таким образом, координаты середины стороны AB будут:

\[
\left(\frac{1+4}{2};\frac{5+8}{2}\right) = \left(\frac{5}{2};\frac{13}{2}\right)
\]

Аналогичным образом находим координаты середины стороны CD:

\[
\left(\frac{3+8}{2};\frac{7+12}{2}\right) = \left(\frac{11}{2};\frac{19}{2}\right)
\]

Теперь у нас есть координаты вершин и середин диагоналей четырёхугольника. Для решения задачи нам нужно найти угол, образованный двумя векторами, идущими от каждой середины стороны к одной из вершин. Для этого мы можем использовать формулу скалярного произведения векторов:

\[
\vec{AB} \cdot \vec{CD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos(\theta)
\]

где \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) - это векторы, идущие от середин сторон к вершинам, а \(\theta\) - искомый угол между диагоналями.

Для начала, найдем вектор \(\vec{AB}\). Для этого нужно вычесть координаты середины стороны AB из координат вершины B:

\[
\vec{AB} = (4-2.5; 8-6.5) = (1.5; 1.5)
\]

Аналогичным образом находим вектор \(\vec{CD}\):

\[
\vec{CD} = (8-5.5; 12-9.5) = (2.5; 2.5)
\]

Теперь мы можем посчитать скалярное произведение векторов:

\[
\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (1.5 \cdot 2.5) + (1.5 \cdot 2.5) = 3.75 + 3.75 = 7.5
\]

Далее, найдем длины векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\):

\[
|\vec{AB}| = \sqrt{(1.5)^2 + (1.5)^2} = \sqrt{2.25 + 2.25} = \sqrt{4.5} \approx 2.121
\]

\[
|\vec{CD}| = \sqrt{(2.5)^2 + (2.5)^2} = \sqrt{6.25 + 6.25} = \sqrt{12.5} \approx 3.536
\]

Теперь мы можем использовать найденные значения, чтобы найти значение косинуса угла \(\theta\):

\[
7.5 = 2.121 \cdot 3.536 \cdot \cos(\theta)
\]

Решая это уравнение, найдем значение косинуса:

\[
\cos(\theta) = \frac{7.5}{2.121 \cdot 3.536} \approx 1.414
\]

Теперь мы можем найти значение угла \(\theta\) с помощью обратной функции косинуса (арккосинуса):

\[
\theta = \arccos(1.414) \approx 0.184 \; \text{радиан} \approx 10.534 \; \text{градусов}
\]

Итак, угол между диагоналями четырёхугольника составляет примерно 10.534 градуса.