Какова площадь поверхности тела, получаемого в результате вращения прямоугольной трапеции около ее большего основания?

Наталья

34

Чтобы решить эту задачу, мы должны разобраться с основными понятиями и формулами, связанными с поверхностью вращения.

Поверхностью вращения называется тело, получаемое в результате вращения кривой вокруг оси. В данной задаче нам нужно найти площадь поверхности, получаемой при вращении прямоугольной трапеции вокруг ее большего основания.

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой площади поверхности вращения:

\[S = 2\pi \cdot \int_{a}^{b} f(x) \cdot \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx\]

где \(S\) - площадь поверхности, \(\pi\) - число пи, \(a\) и \(b\) - границы интегрирования, \(f(x)\) - функция, описывающая кривую, и \(\frac{dy}{dx}\) - производная этой функции.

В данной задаче наша кривая - прямоугольная трапеция, а большее основание этой трапеции - отрезок от \(a\) до \(b\). Функция, описывающая этот отрезок, может быть записана как \(f(x) = c\), где \(c\) - высота трапеции.

Теперь мы можем записать площадь поверхности вращения прямоугольной трапеции:

\[S = 2\pi \cdot \int_{a}^{b} c \cdot \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx\]

Так как производная постоянной функции равна нулю (\(\frac{dy}{dx} = 0\)), то подкоренное выражение примет вид \(\sqrt{1 + 0^2} = 1\). Поэтому формула упрощается до:

\[S = 2\pi \cdot \int_{a}^{b} c \, dx\]

Вычислим интеграл:

\[S = 2\pi \cdot c \cdot (b - a)\]

Таким образом, площадь поверхности тела, получаемого в результате вращения прямоугольной трапеции около ее большего основания, равна \(2\pi \cdot c \cdot (b - a)\).