Каков угол в параллелограмме ABCD, если его площадь равна 24 см²?

Vitaliy

19

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства параллелограммов. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Также в нем противоположные углы равны. Эти свойства помогут нам найти ответ на вопрос.

Пусть угол между стороной AB и стороной AD равен $\angle B$.

Так как параллелограмм ABCD имеет площадь 24 см², мы можем использовать формулу для площади параллелограмма, которая говорит о том, что площадь равна произведению длины базы на высоту, где базой параллелограмма считается сторона, на которую опущена высота. В нашем случае, базой будет сторона AB, а высотой - расстояние между сторонами AB и CD. Обозначим это расстояние как h.

\[24 = AB \cdot h\]

Теперь нам нужно найти h. Рассмотрим треугольник ABD, в котором сторона AB является основанием, а AD - высотой. Так как у нас нет других данных о параллелограмме, мы можем рассматривать треугольник ABD как прямоугольный. Это позволяет нам применить теорему Пифагора:

\[AB^2 = h^2 + AD^2\]

Теперь мы должны выразить AD через h. Обратимся к треугольнику ABC, в котором AB - основание, а BC - высота. Здесь также можно применить теорему Пифагора:

\[AB^2 = h^2 + BC^2\]

Если мы объединим оба уравнения, то получим:

\[h^2 + AD^2 = h^2 + BC^2\]

Это означает, что \(AD^2 = BC^2\). Теперь мы знаем, что AD равна BC.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AD = BC. Получается, что AD = BC, а значит, у нас есть прямоугольный треугольник ABD с катетами AD и AB.

Вспомним определение тангенса. Тангенс угла B в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета (AD) к прилежащему катету (AB):

\[tg(B) = \frac{AD}{AB}\]

Мы знаем, что AD равно BC, а также, что BC равно AB. Подставив значения:

\[tg(B) = \frac{BC}{AB} = \frac{AD}{AB} = 1\]

Тангенс угла B равен 1. Теперь мы должны найти сам угол B. Для этого воспользуемся обратной функцией тангенса. Назовем наш искомый угол B".

\[B" = arctg(1)\]

Арктангенс от 1 равен 45 градусам. Получается, что угол B равен 45 градусам.

Таким образом, ответ на вопрос состоит в том, что угол в параллелограмме ABCD равен 45 градусам.