В треугольнике ABC, где угол C прямой, известно, что длина вектора AB равна 4, а длина вектора AC равна 8. Найдите угол

Пётр

46

Для решения данной задачи нам понадобятся знания из геометрии и векторной алгебры.

Пусть $\mathbf{AB}$ и $\mathbf{AC}$ - это векторы, соединяющие точки $A$ и $B$ и $A$ и $C$ соответственно. Также пусть $\mathrm{\angle }ACB$ - это искомый угол между векторами $\mathbf{AC}$ и $\mathbf{BC}$.

Для начала, нам нужно найти вектор $\mathbf{BC}$. Мы можем это сделать, используя основные свойства векторов. По свойству "прибавления векторов" мы можем записать $\mathbf{AB}=\mathbf{AC}+\mathbf{BC}$.

Теперь мы можем решить данное уравнение относительно вектора $\mathbf{BC}$:
$\mathbf{BC}=\mathbf{AB}-\mathbf{AC}$.

Зная, что длина вектора $\mathbf{AB}$ равна 4 и длина вектора $\mathbf{AC}$ равна 8, мы можем записать:
$\Vert \mathbf{AB}\Vert =4$ и $\Vert \mathbf{AC}\Vert =8$.

Мы также можем воспользоваться свойством векторов, которое гласит, что длина разности двух векторов равна разности длин этих векторов:
$\Vert \mathbf{BC}\Vert =\Vert \mathbf{AB}-\mathbf{AC}\Vert =\Vert \mathbf{AB}\Vert -\Vert \mathbf{AC}\Vert$ (свойство "разности векторов").

Подставляя значения, получим:
$\Vert \mathbf{BC}\Vert =4-8=-4$.

Однако, длина вектора не может быть отрицательной, поэтому нам нужно взять модуль значения:
$\Vert \mathbf{BC}\Vert =|-4|=4$.

Таким образом, мы нашли длину вектора $\mathbf{BC}$, и она равна 4.

Теперь, чтобы найти искомые углы, мы можем использовать формулу скалярного произведения векторов:
$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\Vert \mathbf{u}\Vert \cdot \Vert \mathbf{v}\Vert \cdot \cos (\theta )$,
где $\theta$ - угол между векторами $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$.

Таким образом, чтобы найти угол между векторами $\mathbf{AC}$ и $\mathbf{BC}$, мы можем записать:
$\cos (\mathrm{\angle }ACB)=\frac{\mathbf{AC}\cdot \mathbf{BC}}{\Vert \mathbf{AC}\Vert \cdot \Vert \mathbf{BC}\Vert }$.

Подставляя значения, получим:
$\cos (\mathrm{\angle }ACB)=\frac{\mathbf{AC}\cdot \mathbf{BC}}{\Vert \mathbf{AC}\Vert \cdot \Vert \mathbf{BC}\Vert }=\frac{8\cdot 4}{8\cdot 4}=1$.

Так как $\cos (\mathrm{\angle }ACB)=1$, угол $\mathrm{\angle }ACB$ равен 0 градусов или $\pi$ радиан.

Чтобы найти углы $\mathrm{\angle }ABC$, $\mathrm{\angle }BAC$ и $\mathrm{\angle }BCA$, мы можем использовать факт, что сумма углов треугольника равна 180 градусов или $\pi$ радиан. Так как угол $\mathrm{\angle }ACB$ равен 0 градусов или $\pi$ радиан, то остальные углы равны:
$\mathrm{\angle }ABC=180-\mathrm{\angle }BAC-\mathrm{\angle }ACB=180-90-0=90$ градусов или $\frac{\pi }{2}$ радиан,
$\mathrm{\angle }BAC=180-\mathrm{\angle }ABC-\mathrm{\angle }ACB=180-90-0=90$ градусов или $\frac{\pi }{2}$ радиан,
$\mathrm{\angle }BCA=180-\mathrm{\angle }BAC-\mathrm{\angle }ABC=180-90-90=0$ градусов или $\pi$ радиан.

Таким образом, мы нашли значения всех искомых углов:
$\mathrm{\angle }ACB=0$ градусов или $\pi$ радиан,
$\mathrm{\angle }ABC=90$ градусов или $\frac{\pi }{2}$ радиан,
$\mathrm{\angle }BAC=90$ градусов или $\frac{\pi }{2}$ радиан,
$\mathrm{\angle }BCA=0$ градусов или $\pi$ радиан.