В треугольнике ABC, где угол C прямой, известно, что длина вектора AB равна 4, а длина вектора AC равна 8. Найдите угол

Пётр

46

Для решения данной задачи нам понадобятся знания из геометрии и векторной алгебры.

Пусть \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{AC}\) - это векторы, соединяющие точки \(A\) и \(B\) и \(A\) и \(C\) соответственно. Также пусть \(\angle ACB\) - это искомый угол между векторами \(\mathbf{AC}\) и \(\mathbf{BC}\).

Для начала, нам нужно найти вектор \(\mathbf{BC}\). Мы можем это сделать, используя основные свойства векторов. По свойству "прибавления векторов" мы можем записать \(\mathbf{AB} = \mathbf{AC} + \mathbf{BC}\).

Теперь мы можем решить данное уравнение относительно вектора \(\mathbf{BC}\):
\(\mathbf{BC} = \mathbf{AB} - \mathbf{AC}\).

Зная, что длина вектора \(\mathbf{AB}\) равна 4 и длина вектора \(\mathbf{AC}\) равна 8, мы можем записать:
\(\|\mathbf{AB}\| = 4\) и \(\|\mathbf{AC}\| = 8\).

Мы также можем воспользоваться свойством векторов, которое гласит, что длина разности двух векторов равна разности длин этих векторов:
\(\|\mathbf{BC}\| = \|\mathbf{AB} - \mathbf{AC}\| = \|\mathbf{AB}\| - \|\mathbf{AC}\|\) (свойство "разности векторов").

Подставляя значения, получим:
\(\|\mathbf{BC}\| = 4 - 8 = -4\).

Однако, длина вектора не может быть отрицательной, поэтому нам нужно взять модуль значения:
\(\|\mathbf{BC}\| = |-4| = 4\).

Таким образом, мы нашли длину вектора \(\mathbf{BC}\), и она равна 4.

Теперь, чтобы найти искомые углы, мы можем использовать формулу скалярного произведения векторов:
\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\| \cdot \cos(\theta)\),
где \(\theta\) - угол между векторами \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\).

Таким образом, чтобы найти угол между векторами \(\mathbf{AC}\) и \(\mathbf{BC}\), мы можем записать:
\(\cos(\angle ACB) = \frac{\mathbf{AC} \cdot \mathbf{BC}}{\|\mathbf{AC}\| \cdot \|\mathbf{BC}\|}\).

Подставляя значения, получим:
\(\cos(\angle ACB) = \frac{\mathbf{AC} \cdot \mathbf{BC}}{\|\mathbf{AC}\| \cdot \|\mathbf{BC}\|} = \frac{8 \cdot 4}{8 \cdot 4} = 1\).

Так как \(\cos(\angle ACB) = 1\), угол \(\angle ACB\) равен 0 градусов или \(\pi\) радиан.

Чтобы найти углы \(\angle ABC\), \(\angle BAC\) и \(\angle BCA\), мы можем использовать факт, что сумма углов треугольника равна 180 градусов или \(\pi\) радиан. Так как угол \(\angle ACB\) равен 0 градусов или \(\pi\) радиан, то остальные углы равны:
\(\angle ABC = 180 - \angle BAC - \angle ACB = 180 - 90 - 0 = 90\) градусов или \(\frac{\pi}{2}\) радиан,
\(\angle BAC = 180 - \angle ABC - \angle ACB = 180 - 90 - 0 = 90\) градусов или \(\frac{\pi}{2}\) радиан,
\(\angle BCA = 180 - \angle BAC - \angle ABC = 180 - 90 - 90 = 0\) градусов или \(\pi\) радиан.

Таким образом, мы нашли значения всех искомых углов:
\(\angle ACB = 0\) градусов или \(\pi\) радиан,
\(\angle ABC = 90\) градусов или \(\frac{\pi}{2}\) радиан,
\(\angle BAC = 90\) градусов или \(\frac{\pi}{2}\) радиан,
\(\angle BCA = 0\) градусов или \(\pi\) радиан.