Каков возраст старого куска дерева, если относительная доля радиоактивного углерода в нем составляет 0,6 доли

Григорий

52

Эта задача связана с радиоуглеродным методом датировки и оценкой возраста деревьев. Давайте посмотрим на решение.

Период полураспада радиоактивного изотопа углерода-14 равен 5570 лет. Это означает, что через каждые 5570 лет количество радиоактивного углерода-14 в объекте уменьшается в два раза.

Для нашей задачи, относительная доля радиоактивного углерода-14 в старом куске дерева составляет 0,6 доли его в живых растениях. Если обозначим изначальное количество радиоактивного углерода-14 в старом куске дерева как \(C_0\) и изначальное количество радиоактивного углерода-14 в живых растениях как \(C_{\text{ж}}\), то у нас есть следующие соотношения:

\[C_0 = 0.6 \cdot C_{\text{ж}} \]

Теперь нам нужно найти, сколько полураспадов произошло в старом куске дерева, чтобы определить его возраст.

Допустим, количество полураспадов равно \(n\). Тогда количество радиоактивного углерода-14 в старом куске дерева можно записать как:

\[C = C_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n\]

Мы знаем, что после каждого полураспада количество радиоактивного углерода-14 уменьшается в два раза. Поэтому, чтобы найти количество полураспадов, мы можем использовать следующее соотношение:

\[\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{C}{C_0}\]

Подставляем значения:

\[\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{C_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n}{C_0} = \frac{C}{C_0} = \frac{0.6 \cdot C_{\text{ж}}}{C_{\text{ж}}}\]

Упрощаем выражение:

\[\left(\frac{1}{2}\right)^n = 0.6\]

Теперь возьмем логарифм от обеих частей уравнения для нахождения значения \(n\):

\[n \cdot \log{\left(\frac{1}{2}\right)} = \log{0.6}\]

Решим это уравнение численно:

\[n \approx \frac{\log{0.6}}{\log{2}} \approx 0.736\]

Таким образом, округляя значение до ближайшего целого числа, получаем, что количество полураспадов равно 1.

Теперь мы можем найти возраст старого куска дерева, умножив количество полураспадов на период полураспада:

\[ \text{Возраст} = n \cdot \text{Период полураспада} = 1 \cdot 5570 = 5570 \text{ лет}\]

Таким образом, возраст старого куска дерева составляет 5570 лет.

Я надеюсь, эта подробная пошаговая информация помогла вам понять, как была решена данная задача. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.