Каков вращающий момент, количество оборотов и кинетическая энергия через время t= 5 с после начала вращения медного

Boris

40

Для решения задачи о вращающемся диске сначала найдем угловую скорость \(\omega \) и угловое ускорение \(\alpha \), зная закон изменения угла поворота \(\phi \). Затем мы можем использовать эти значения для вычисления вращающего момента, числа оборотов и кинетической энергии.

1. Найдем угловую скорость \(\omega \). Угловая скорость - это скорость изменения угла поворота и определяется как производная угла по времени. Зная, что \(\phi = Аt+Bt^2+Ct^3 \), возьмем производную этого выражения по времени:

\[\omega = \frac{d\phi}{dt} = A + 2Bt + 3Ct^2 \]

Подставим известные значения констант:

\(\omega = 2 + 2 \cdot 3t + 3 \cdot 4t^2 \)

\(\omega = 2 + 6t + 12t^2 \) (1)

2. Найдем угловое ускорение \(\alpha \). Угловое ускорение - это скорость изменения угловой скорости, определяется как производная угловой скорости по времени. Возьмем производную уравнения (1) по времени:

\[\alpha = \frac{d\omega}{dt} = 6 + 24t \]

3. Теперь можем рассчитать вращающий момент \(M\) с использованием известных значений радиуса \(R\), угловой скорости \(\omega\) и углового ускорения \(\alpha \). Вращающий момент определяется как произведение момента инерции и углового ускорения:

\[M = I \cdot \alpha \]

Момент инерции \(I\) диска можно выразить через его массу \(m\) и геометрические параметры (радиус \(R\) и толщину \(L\)):

\[I = \frac{1}{2} m R^2 \]

Учитывая это, выражение для вращающего момента принимает следующий вид:

\[M = \frac{1}{2} m R^2 \cdot (6 + 24t) = 3mR^2 + 12mtR^2 \] (2)

4. Количество оборотов \(N\) определяется как отношение угла поворота \(\phi \) к полному углу поворота вокруг окружности:

\[N = \frac{\phi}{2\pi} \]

Подставим уравнение для угла поворота \(\phi \):

\(N = \frac{At + Bt^2 + Ct^3}{2\pi} \) (3)

5. Кинетическая энергия \(K\) диска может быть найдена с использованием угловой скорости \(\omega \), момента инерции \(I\) и следующей формулы:

\[K = \frac{1}{2} I \omega^2 \]

подставим значения для момента инерции \(I\) и угловую скорость \(\omega \):

\[K = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m R^2 \cdot (2 + 6t + 12t^2)^2 \] (4)

Теперь у нас есть все необходимые формулы для решения задачи. Давайте рассчитаем значения вращающего момента \(M\), количества оборотов \(N\) и кинетической энергии \(K\) через время \(t = 5\) секунд.

Сначала вычислим вращающий момент \(M\) с использованием уравнения (2):

\[M = 3mR^2 + 12mtR^2 \]

В данной задаче не предоставлена информация о массе диска \(m\), поэтому мы не можем найти точное значение вращающего момента \(M\).

Затем рассчитаем количество оборотов \(N\) с использованием уравнения (3):

\[N = \frac{At + Bt^2 + Ct^3}{2\pi} \]

Подставим известные значения коэффициентов \(A = 2\), \(B = 3\), \(C = 4\) и время \(t = 5\) с:

\[N = \frac{2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3}{2\pi} \]

\[N = \frac{10 + 75 + 500}{2\pi} \]

\[N = \frac{585}{2\pi} \]

Наконец, вычислим кинетическую энергию \(K\) с использованием уравнения (4):

\[K = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m R^2 \cdot (2 + 6t + 12t^2)^2 \]

В данной задаче не предоставлена информация о массе диска \(m\), поэтому мы не можем найти точное значение кинетической энергии \(K\).

В итоге, без знания массы диска, мы не можем посчитать вращающий момент \(M\) и кинетическую энергию \(K\), но мы можем рассчитать количество оборотов \(N\) с использованием известных значений. Таким образом, при условии, что масса диска неизвестна, вращающий момент и кинетическая энергия не могут быть точно определены, а количество оборотов равно \(\frac{585}{2\pi}\).