Какова величина коэффициента сопротивления среды r, если масса тела m=48 г совершает затухающие колебания на пружине

Дружище

21

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу, связывающую изменение энергии колебательной системы с коэффициентом затухания и временем:

\[\Delta E = -\frac{1}{2}\left(\frac{\gamma}{\omega}\right)^2A^2\]

где \(\Delta E\) - изменение энергии системы, \(\gamma\) - коэффициент затухания, \(\omega\) - циклическая частота, \(A\) - амплитуда смещения.

Так как система теряет 80% своей энергии, то \(\Delta E = -0.8E\), где \(E\) - начальная энергия системы. Величина начальной энергии связана с массой тела и квадратом амплитуды смещения следующим образом:

\[\Delta E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2A^2\]

где \(k\) - коэффициент жесткости, \(m\) - масса тела.

Выразим \(\omega\) из последнего уравнения:

\[\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\]

Подставим найденное значение \(\omega\) в уравнение рассчитанное на изменение энергии:

\[-0.8E = -\frac{1}{2}\left(\frac{\gamma}{\sqrt{\frac{k}{m}}}\right)^2A^2\]

Сократим отрицательные знаки и выражение станет:

\[0.8E = \frac{\gamma^2}{2}\left(\frac{A^2}{\frac{k}{m}}\right)\]

Разделим обе части уравнения на \(A^2\), подставим значение \(m = 48\ г\), и соотношение \(\frac{k}{m} = 4 \cdot \pi^2\), где \(\pi\) - число пи:

\[0.8E = \frac{\gamma^2}{8 \cdot \pi^2}\]

Используя значение \(E = \frac{1}{2}kA^2\), можно связать начальную энергию с коэффициентом жесткости и амплитудой смещения:

\[E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2A^2\]

\[\frac{k}{m} = \omega^2\]

Подставим полученное значение \(\frac{k}{m}\) в предыдущее уравнение:

\[0.8E = \frac{\gamma^2}{8 \cdot \pi^2}\]

\[0.8 \cdot \frac{1}{2}m\omega^2A^2 = \frac{\gamma^2}{8 \cdot \pi^2}\]

\[0.4 \cdot m \cdot \frac{k}{m}A^2 = \frac{\gamma^2}{8 \cdot \pi^2}\]

\[0.4 \cdot kA^2 = \frac{\gamma^2}{8 \cdot \pi^2}\]

Теперь можем выразить жесткость пружины \(k\) через коэффициент затухания \(\gamma\):

\[k = \frac{\gamma^2}{2 \cdot 0.4 \cdot \pi^2}\]

Выразим коэффициент затухания \(\gamma\) через искомый коэффициент сопротивления среды \(r\):

\[\gamma = 2\sqrt{r \cdot m \cdot k}\]

Подставляем в уравнение значение \(k\):

\[\gamma = 2\sqrt{r \cdot m \cdot \left(\frac{\gamma^2}{2 \cdot 0.4 \cdot \pi^2}\right)}\]

Возведем полученное уравнение в квадрат:

\[\gamma^2 = 4 \cdot r \cdot m \cdot \left(\frac{\gamma^2}{2 \cdot 0.4 \cdot \pi^2}\right)\]

Разрешим уравнение относительно \(\gamma\):

\[\gamma^2 = 4 \cdot r \cdot m \cdot \left(\frac{\gamma^2}{0.8 \cdot \pi^2}\right)\]

\[\gamma^2 = \frac{5 \cdot r \cdot m \cdot \gamma^2}{0.8 \cdot \pi^2}\]

Исключим \(\gamma^2\) из обеих частей уравнения:

\[\frac{0.8 \cdot \pi^2}{5 \cdot r \cdot m} = 1\]

Теперь выразим коэффициент сопротивления среды \(r\):

\[r = \frac{0.8 \cdot \pi^2}{5 \cdot m}\]

Подставим данное значение массы \(m = 48\ г\):

\[r = \frac{0.8 \cdot \pi^2}{5 \cdot 48}\]

Выполним вычисления:

\[r \approx 0.032\]

Таким образом, величина коэффициента сопротивления среды \(r\) составляет примерно 0.032.

Теперь рассмотрим следующую часть задачи. Мы можем использовать уравнение затухающих колебаний, чтобы определить время, в которое амплитуда смещения уменьшится в \(e = 2.718\):

\[A(t) = A_0 \cdot e^{-\gamma t}\]

где \(A(t)\) - амплитуда смещения в момент времени \(t\), \(A_0\) - начальная амплитуда смещения, \(\gamma\) - коэффициент затухания, \(e\) - число Эйлера.

Мы знаем, что при времени \(t_1\) амплитуда смещения уменьшится в \(e\) раз, то есть \(A(t_1) = \frac{A_0}{e}\). Также мы знаем, что \(A(t) = A_0 \cdot e^{-\gamma t}\). Подставим \(A(t_1)\) в это уравнение и решим его относительно \(t_1\):

\[\frac{A_0}{e} = A_0 \cdot e^{-\gamma t_1}\]

\[e^{-\gamma t_1} = \frac{1}{e}\]

Прологарифмируем обе части уравнения:

\[-\gamma t_1 = \ln{\frac{1}{e}} = -1\]

Разделим обе части уравнения на \(-\gamma\):

\[t_1 = \frac{1}{\gamma}\]

Подставим значение \(\gamma\) из предыдущей части решения:

\[t_1 = \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{r \cdot m}}} = \frac{\sqrt{r \cdot m}}{2}\]

Подставим значение \(r = 0.032\) и \(m = 48\ г\):

\[t_1 = \frac{\sqrt{0.032 \cdot 48}}{2}\]

Выполним вычисления:

\[t_1 \approx 0.691\ сек\]

Таким образом, время, за которое амплитуда смещения тела уменьшится в \(e = 2.718\), составляет примерно 0.691 секунды.