Каков закон распределения и как построить многоугольник распределения для случайной величины (СВ) X, если известно

Solnechnyy_Kalligraf

54

Закон распределения или функция вероятности случайной величины (СВ) X определяет вероятность возникновения различных значений данной СВ. Для построения многоугольника распределения, нам сначала нужно найти вероятности для каждого значения X.

Мы знаем, что M(X) (математическое ожидание) равно 4 и D(X) (дисперсия) равна 0,18. Можем воспользоваться этими значениями для определения вероятностей.

По определению, математическое ожидание M(X) равно сумме произведений значений X на соответствующие вероятности. То есть, M(X) = x1 * P(X=x1) + x2 * P(X=x2) + x3 * P(X=x3). Подставляем значения и получаем:
4 = 1 * P(X=1) + 2 * P(X=2) + 4 * P(X=4).

Также, дисперсия D(X) равна сумме произведений квадратов разности между значениями X и математическим ожиданием на соответствующие вероятности. То есть, D(X) = (x1 - M(X))^2 * P(X=x1) + (x2 - M(X))^2 * P(X=x2) + (x3 - M(X))^2 * P(X=x3). Подставляем значения и получаем:
0,18 = (1 - 4)^2 * P(X=1) + (2 - 4)^2 * P(X=2) + (4 - 4)^2 * P(X=4).

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными P(X=1), P(X=2) и P(X=4). Решим их систему.

Сначала найдем P(X=4):
4 = 1 * P(X=1) + 2 * P(X=2) + 4 * P(X=4)
4 = P(X=1) + 2 * P(X=2) + 4 * P(X=4)
4 = 1 + 2 * P(X=2) + 4 * P(X=4) - P(X=1)

Теперь найдем P(X=4):
0,18 = (1 - 4)^2 * P(X=1) + (2 - 4)^2 * P(X=2) + (4 - 4)^2 * P(X=4)
0,18 = 9 * P(X=1) + 4 * P(X=2) + 0 * P(X=4)
0,18 = 9 * P(X=1) + 4 * P(X=2)

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными P(X=1) и P(X=2). Решим эту систему уравнений.

Из первого уравнения выразим P(X=2):
4 - 1 - 4 * P(X=4) = 2 * P(X=2)
3 - 4 * P(X=4) = 2 * P(X=2)
2 * P(X=2) = 3 - 4 * P(X=4)
P(X=2) = (3 - 4 * P(X=4)) / 2

Теперь подставим найденное выражение для P(X=2) во второе уравнение:
0,18 = 9 * P(X=1) + 4 * ((3 - 4 * P(X=4)) / 2)
0,18 = 9 * P(X=1) + 2 * (3 - 4 * P(X=4))
0,18 = 9 * P(X=1) + 6 - 8 * P(X=4)
-8 * P(X=4) + 9 * P(X=1) = 0,18 - 6
-8 * P(X=4) + 9 * P(X=1) = -5,82

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения P(X=1), P(X=2) и P(X=4). Подставив эти значения в многоугольник распределения, мы сможем построить его.