Чему равен объем усеченного конуса, если его радиус меньшего основания составляет 10 дм, образующая - 40 дм, и угол

Krasavchik

27

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать формулу для объёма усеченного конуса.

Объём \(V\) усеченного конуса можно найти с использованием следующей формулы:

\[V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2),\]

где \(h\) - высота усеченного конуса, \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы его оснований.

В нашем случае, \(r_1\) равен 10 дм и \(r_2\) равен \(r_1 + l\), где \(l\) - длина отрезка, соединяющего вершину конуса с плоскостью, на которой лежит большее основание.

Находим \(l\) с помощью теоремы косинусов для треугольника, образующегося между вершиной, серединой образующей и точкой касания образующей с плоскостью большего основания:

\[l = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 \cdot r_1 \cdot r_2 \cdot \cos{(\alpha)}},\]

где \(\alpha\) - угол между образующей и плоскостью большего основания. В нашем случае, \(\alpha\) равен 60 градусов.

Теперь, подставляя известные значения в формулу объема усеченного конуса, получим ответ:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot (r_1^2 + r_2^2 + r_1 \cdot r_2),\]

где \(h\) - неизвестная высота.

Подставляем:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot (10^2 + (10 + \sqrt{10^2 + (40^2 - 2 \cdot 10 \cdot 40 \cdot \cos{(60)})} )^2 + 10 \cdot (10 + \sqrt{10^2 + (40^2 - 2 \cdot 10 \cdot 40 \cdot \cos{(60)})} )),\]

\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot (100 + (10 + \sqrt{100 + (1600 - 800 \cdot \cos{(60)})} )^2 + 10 \cdot (10 + \sqrt{100 + (1600 - 800 \cdot \cos{(60)})} )),\]

\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot (100 + (10 + \sqrt{100 + 800} )^2 + 10 \cdot (10 + \sqrt{100 + 800} )),\]

\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot (100 + (10 + \sqrt{900} )^2 + 10 \cdot (10 + \sqrt{900} )),\]

\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot (100 + (10 + 30 )^2 + 10 \cdot (10 + 30 )),\]

\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot (100 + 40^2 + 10 \cdot 40),\]

\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot (100 + 1600 + 400),\]

\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot 2100.\]

Таким образом, объём усеченного конуса равен \(\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot 2100\). Ответом может быть данное выражение, либо его численное значение, если известна конкретная высота \(h\).