Каков закон распределения случайной величины в арифметической прогрессии из четырех членов, где значения средних членов

Morskoy_Putnik

30

Хорошо, давайте начнем с построения арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается путем добавления определенного постоянного значения к предыдущему элементу. Формула для нахождения любого элемента \(a_n\) в арифметической прогрессии имеет вид:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

где \(a_1\) - первый элемент прогрессии, \(n\) - номер элемента прогрессии, а \(d\) - разность прогрессии.

В данной задаче у нас есть арифметическая прогрессия из четырех членов. Предположим, что первый член равен \(a_1\), а разность между последующими членами равна \(d\).

Мы знаем, что значения средних членов равны 10 и 14. То есть, сумма всех членов прогрессии равна \(4 \times 12 = 48\) (сумма первого и последнего членов равна удвоенному значению суммы средних членов).

Теперь нам нужно найти вероятности каждого члена прогрессии. Нам дано, что вероятность средних членов в 4 раза больше вероятностей крайних членов.

Обозначим вероятность каждого члена прогрессии следующим образом:
\(P_1\) - вероятность первого члена прогрессии,
\(P_2\) - вероятность второго члена прогрессии,
\(P_3\) - вероятность третьего члена прогрессии,
\(P_4\) - вероятность четвертого члена прогрессии.

По условию задачи, вероятность средних членов в 4 раза больше вероятностей крайних членов. Это означает, что:

\[P_2 + P_3 = 4(P_1 + P_4)\]

Теперь нам нужно найти вероятности \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\) и \(P_4\).

Из условия задачи также следует, что сумма всех вероятностей равна 1. То есть:

\[P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 1\]

Для решения этой системы уравнений воспользуемся методом подстановки.

Возьмем первое уравнение и решим его относительно \(P_2\):

\[P_2 = 4(P_1 + P_4) - P_3\]

Теперь возьмем второе уравнение и подставим найденное значение \(P_2\):

\[P_1 + (4(P_1 + P_4) - P_3) + P_3 + P_4 = 1\]

Упростим это уравнение:

\[6P_1 + 4P_4 = 1\]

Теперь возьмем первое уравнение и решим его относительно \(P_3\):

\[P_3 = 4(P_1 + P_4) - P_2\]

Подставим найденное значение \(P_3\) во второе уравнение:

\[P_1 + P_2 + (4(P_1 + P_4) - P_2) + P_4 = 1\]

Упростим это уравнение:

\[5P_1 + 3P_4 = 1\]

У нас получилась система из двух уравнений:

\[\begin{cases} 6P_1 + 4P_4 = 1 \\ 5P_1 + 3P_4 = 1 \end{cases}\]

Найдем решение этой системы уравнений. Для этого можно воспользоваться, например, методом подстановки или методом исключения.

\[6P_1 + 4P_4 = 1 \Rightarrow P_4 = \frac{1-6P_1}{4}\]

\[5P_1 + 3P_4 = 1 \Rightarrow 5P_1 + 3\left(\frac{1-6P_1}{4}\right) = 1\]

Упростим это уравнение:

\[20P_1 + 12 - 18P_1 = 4\]

\[2P_1 = -8\]

\[P_1 = -4\]

Так как вероятность не может быть отрицательной, мы получаем, что значение \(P_1\) недопустимо.

Следовательно, данная задача не имеет решения в рамках заданных условий.

Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!