Каков знаменатель геометрической прогрессии, если все ее члены положительные числа и третий член равен 3, а седьмой

Иванович

29

Решение данной задачи требует применения свойств геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается умножением предыдущего числа на некоторую постоянную величину, которая называется знаменателем.

Пусть знаменатель геометрической прогрессии равен \( q \). Тогда третий член прогрессии будет равен \( a_3 = a_1 \cdot q^2 \), а седьмой член равен \( a_7 = a_1 \cdot q^6 \).

По условию задачи, третий член равен 3: \( a_3 = 3 \). Это значит, что мы можем записать уравнение:

\[ a_1 \cdot q^2 = 3 \quad (1) \]

Также по условию задачи, седьмой член равен 243: \( a_7 = 243 \). Это значит, что мы можем записать второе уравнение:

\[ a_1 \cdot q^6 = 243 \quad (2) \]

Теперь решим систему уравнений (1) и (2) для нахождения значения знаменателя \( q \).

Для этого поделим (2) на (1):

\[ \frac{{a_1 \cdot q^6}}{{a_1 \cdot q^2}} = \frac{{243}}{{3}} \]

Сократим одинаковые слагаемые в числителе и знаменателе:

\[ q^4 = 81 \]

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

\[ (q^4)^4 = 81^4 \]

Так как \( q^4 \) - это только значение знаменателя, то получаем:

\[ q^{16} = 43046721 \]

Теперь найдем корень 16-й степени из обеих частей уравнения:

\[ q = \sqrt[16]{43046721} \]

После вычислений получим:

\[ q \approx 1.5 \]

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии равен приблизительно 1.5.