Какова была начальная скорость футбольного мяча, если он перелетел забор и коснулся его верхней точки траектории через

Kosmicheskiy_Puteshestvennik_7956

23

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать уравнение движения с постоянным ускорением. В данном случае, ускорение мяча будет равно гравитационному ускорению \( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 \), так как мяч движется вертикально вниз из-за силы тяжести. Нам также дано, что мяч перелетел забор через 0,8 секунды после удара и находился на расстоянии 6,4 метра от забора.

Для начала, определим положение мяча через время \( t \) секунды после удара. Обозначим начальное положение мяча как \( h_0 \), начальную скорость мяча как \( v_0 \), и положение мяча через время \( t \) как \( h(t) \).

Уравнение движения мяча по вертикали:
\[ h(t) = h_0 + v_0t - \frac{1}{2}gt^2 \]
где \( h_0 \) равно 0 (начальное положение мяча), \( v_0 \) - начальная скорость мяча, \( g \) - гравитационное ускорение, а \( t \) - время.

Мы знаем, что через 0,8 секунды после удара мяч перелетел забор и коснулся его верхней точки траектории. Используем это для определения времени полета мяча:
\[ h(0.8) = 6.4 = v_0 \cdot 0.8 - \frac{1}{2} \cdot g \cdot (0.8)^2 \]

Мы также должны учесть, что мяч будет иметь скорость ноль в верхней точке траектории, так как его вертикальная скорость будет изменяться с ускорением \( g \).

Таким образом, у нас есть два уравнения:
\[ h(0.8) = 6.4 \]
\[ v_0 \cdot 0.8 - \frac{1}{2} \cdot g \cdot (0.8)^2 = 0 \]

Нам нужно решить эти уравнения, чтобы найти начальную скорость мяча \( v_0 \).

Начнем с первого уравнения:
\[ h(0.8) = v_0 \cdot 0.8 - \frac{1}{2} \cdot g \cdot (0.8)^2 \]

Подставляя \( h(0.8) = 6.4 \) и \( g = 9.8 \), получаем:
\[ 6.4 = v_0 \cdot 0.8 - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot (0.8)^2 \]

Вычисляем значение в скобках:
\[ 6.4 = v_0 \cdot 0.8 - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot 0.64 \]

Упрощаем выражение:
\[ 6.4 = 0.8v_0 - 3.136 \]

Теперь перенесем -3.136 на другую сторону равенства:
\[ 9.536 = 0.8v_0 \]

Делим на 0.8, чтобы найти значение \( v_0 \):
\[ v_0 = \frac{9.536}{0.8} \approx 11.92 \, \text{м/с} \]

Таким образом, начальная скорость мяча была около 11.92 м/с.