Какова частота колебаний ускорения тела при гармоническом движении вдоль оси OХ, когда координата тела изменяется

Сквозь_Время_И_Пространство

16

Для начала, воспользуемся уравнением гармонического движения, чтобы получить выражение для ускорения \(a\) в зависимости от времени \(t\).

Ускорение определяется как производная скорости \(v\) по времени \(t\), а скорость, в свою очередь, является производной координаты \(x\) по времени:

\[v = \frac{dx}{dt}\]

\[a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}\]

Для нашего случая, где координата \(x = 0.02\cos(20\pi t)\) (в метрах), мы должны дважды продифференцировать это выражение по времени.

Первая производная:
\[\frac{dx}{dt} = -0.02 \cdot 20\pi \sin(20\pi t)\]

Продолжим, найдя вторую производную:
\[\frac{d^2x}{dt^2} = -0.02 \cdot 20\pi \cdot 20\pi \cos(20\pi t)\]

Теперь, когда у нас есть выражение для ускорения \(a\), мы можем исследовать его частоту колебаний.

Частота колебаний может быть определена как обратное значение периода колебаний \(T\), где период колебаний - это время, за которое позиция тела проделывает одно полное колебание.

Выражение для периода колебаний можно получить из уравнения частоты \(f\) и других соотношений:

\[f = \frac{1}{T}\]

В нашем случае амплитуда \(A\) гармонического движения равна \(0.02\) метра. Поскольку гармоническое движение является косинусоидой, период \(T\) может быть определен как \(\frac{2\pi}{\omega}\), где \(\omega\) - угловая скорость колебаний.

Угловая скорость связана с частотой колебаний следующим соотношением:
\[\omega = 2\pi f\]

Подставим выражение для угловой скорости в формулу периода:
\[T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2\pi f} = \frac{1}{f}\]

Теперь мы можем найти частоту колебаний \(f\), используя период колебаний \(T\):
\[f = \frac{1}{T}\]

Приведём все значения в формулу:
\[f = \frac{1}{T} = \frac{1}{\frac{1}{20\pi}} = 20\pi \approx 62.83 \, Гц\]

Таким образом, частота колебаний ускорения тела при гармоническом движении равна приблизительно \(62.83 \, Гц\).