Какова деформация пружины детского пистолета, когда шарик массой 20 г вылетает со скоростью 6 м/c? В одном случае дуло

Ekaterina

2

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать закон сохранения механической энергии. В данном случае, энергия упругой деформации пружины превращается в кинетическую энергию вылетающего шарика.

Давайте сначала рассмотрим случай, когда дуло пистолета горизонтально. Предположим, что деформация пружины, когда она сжимается перед вылетом шарика, составляет \(x\) (этого мы должны найти). Затем, когда пружина расслабляется, она приводит шарик в движение, сообщая ему некоторую начальную скорость \(v_0\).

По закону Гука мы знаем, что сила \(F\) пружины пропорциональна ее деформации \(x\). Таким образом, мы можем записать \(F = k \cdot x\), где \(k\) - коэффициент жесткости пружины.

Расстояние, на которое пружина сжимается, равно половине деформации (так как пружина возвращается к своей начальной положению): \(d = \frac{x}{2}\).

Когда пружина полностью расслабляется, вся энергия упругой деформации превращается в кинетическую энергию шарика:

\[\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v_0^2\]

где \(m\) - масса шарика.

Мы знаем, что масса шарика составляет 20 г (или 0.02 кг), а начальная скорость шарика \(v_0\) составляет 6 м/c. Мы также получаем значение коэффициента жесткости пружины \(k = 10^2\) Н/м.

Теперь мы можем решить уравнение для нахождения деформации пружины:

\[\frac{1}{2} \cdot (10^2) \cdot x^2 = \frac{1}{2} \cdot (0.02) \cdot (6)^2\]

Упростив это выражение, мы получаем:

\[100 \cdot x^2 = 0.02 \cdot 36\]

Деление обеих сторон на 100 дает:

\[x^2 = \frac{36}{100} = 0.36\]

Чтобы найти \(x\), возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[x = \sqrt{0.36} = 0.6\]

Таким образом, деформация пружины в этом случае составляет 0.6 м.

Теперь рассмотрим случай, когда дуло пистолета вертикально. В таком случае деформация пружины будет такая же, но направление движения будет вертикальным. Это означает, что энергия упругой деформации пружины превратится в потенциальную энергию шарика поднятого на некоторую высоту.

Мы можем использовать ту же формулу, что и раньше, но вместо кинетической энергии будем использовать потенциальную энергию, обозначенную \(U\):

\[\frac{1}{2} k x^2 = m \cdot g \cdot h\]

где \(g\) - ускорение свободного падения (примерно 9.8 м/с\(^2\)) и \(h\) - высота, на которую поднимается шарик.

Мы знаем, что \(m = 0.02\) кг, \(k = 10^2\) Н/м и \(g = 9.8\) м/с\(^2\). Теперь мы можем решить уравнение для высоты:

\[\frac{1}{2} \cdot (10^2) \cdot x^2 = (0.02) \cdot (9.8) \cdot h\]

Упростив это выражение, мы получаем:

\[100 \cdot x^2 = 0.196 \cdot h\]

Деление обеих сторон на 100 дает:

\[x^2 = \frac{0.196 \cdot h}{100}\]

Чтобы найти \(x\), возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[x = \sqrt{\frac{0.196 \cdot h}{100}} = \frac{0.14 \cdot \sqrt{h}}{10}\]

Таким образом, деформация пружины в этом случае зависит от высоты подъема шарика и составляет \(\frac{0.14 \cdot \sqrt{h}}{10}\) м.