Какова длина BC в трапеции ABCD (где AD∥BC), если диагонали перпендикулярны и на основе AD выбрана точка K такая

Сладкий_Пират

54

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойство перпендикулярных диагоналей трапеции.

Давайте рассмотрим трапецию ABCD:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
A & B \\
\hline
D & C \\
\hline
\end{array}
\]

Мы знаем, что диагонали перпендикулярны, то есть AC \(\perp\) BD. Также дано, что AD ∥ BC.

Обратите внимание, что треугольники AKB и CKD являются прямоугольными, так как K - середина по диагоналям.

Также, у нас есть равенство KB = KD.

Для начала, найдем длину AB. Рассмотрим треугольник ABC:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
A & B \\
\hline
& C \\
\hline
\end{array}
\]

В данном треугольнике, у нас есть две пары параллельных сторон - AB ∥ CD и BC ∥ AD. Кроме того, у нас есть два вертикальных угла, так как диагонали перпендикулярны.

Теперь, мы видим, что у нас есть два подобных треугольника AKB и CKD. Они подобны, потому что у них равные углы. Используя свойства подобных треугольников, мы можем написать следующее отношение:

\[
\frac{AB}{CD} = \frac{AK}{CK}
\]

Так как KB = KD, то AK = CK.

Тогда отношение может быть переписано как:

\[
\frac{AB}{CD} = \frac{AK}{AK} = 1
\]

Следовательно, AB = CD.

Теперь, поскольку диагонали перпендикулярны, мы можем применить теорему Пифагора в треугольнике AKB:

\[
AB^2 = AK^2 + KB^2
\]

Поскольку AK = CK и KB = KD, мы можем записать так:

\[
AB^2 = CK^2 + KD^2
\]

Теперь подставляем известные значения:

\[
AB^2 = 6^2 + 5^2 = 36 + 25 = 61
\]

Извлекая квадратный корень из обеих сторон, получаем:

\[
AB = \sqrt{61}
\]

Таким образом, длина BC в трапеции ABCD равна \(\sqrt{61}\).

Ответ: BC = \(\sqrt{61}\).