Які координати точок А(-1;0;2) та B(0;1;1), які утворюють правильний трикутник? Який буде периметр цього трикутника?

Солнечная_Луна

43

Для определения, является ли треугольник, образованный точками А(-1; 0; 2) и B(0; 1; 1), правильным, мы можем вычислить длины всех его сторон.

Для начала, определим координаты третьей точки C, образующей треугольник. Так как треугольник правильный, все его стороны одинаковой длины, а значит расстояние между A и C должно быть равно расстоянию между A и B, а также расстоянию между B и C.

Для нахождения координат третьей точки С, можно воспользоваться следующими соотношениями:

\(x_c = x_a + \frac{{x_b - x_a}}{2}\)
\(y_c = y_a + \frac{{y_b - y_a}}{2}\)
\(z_c = z_a + \frac{{z_b - z_a}}{2}\)

Подставим значения координат точек А и В:

\(x_c = -1 + \frac{{0 - (-1)}}{2} = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\)
\(y_c = 0 + \frac{{1 - 0}}{2} = \frac{1}{2}\)
\(z_c = 2 + \frac{{1 - 2}}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)

Таким образом, точка C имеет координаты C(-1/2; 1/2; 3/2).

Теперь, находим длины сторон треугольника AC, BC и AB, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве:

\(d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\)

Рассчитаем длины сторон:

Для стороны AC:
\(d_{ac} = \sqrt{{(-\frac{1}{2} - (-1))^2 + (\frac{1}{2} - 0)^2 + (\frac{3}{2} - 2)^2}}\)
\(d_{ac} = \sqrt{{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2}}\)
\(d_{ac} = \sqrt{{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}}\)
\(d_{ac} = \sqrt{{\frac{3}{4}}}\)
\(d_{ac} = \frac{{\sqrt{3}}}{2}\)

Для стороны BC:
\(d_{bc} = \sqrt{{(-\frac{1}{2} - 0)^2 + (\frac{1}{2} - 1)^2 + (\frac{3}{2} - 1)^2}}\)
\(d_{bc} = \sqrt{{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2}}\)
\(d_{bc} = \sqrt{{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}}\)
\(d_{bc} = \sqrt{{\frac{3}{4}}}\)
\(d_{bc} = \frac{{\sqrt{3}}}{2}\)

Для стороны AB:
\(d_{ab} = \sqrt{{(-1 - 0)^2 + (0 - 1)^2 + (2 - 1)^2}}\)
\(d_{ab} = \sqrt{{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2}}\)
\(d_{ab} = \sqrt{{1 + 1 + 1}}\)
\(d_{ab} = \sqrt{{3}}\)

Теперь, найдем периметр треугольника, который равен сумме длин всех его сторон:

\(P = d_{ac} + d_{bc} + d_{ab}\)
\(P = \frac{{\sqrt{3}}}{2} + \frac{{\sqrt{3}}}{2} + \sqrt{3}\)
\(P = 2 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{2} + \sqrt{3}\)
\(P = \sqrt{3} + \sqrt{3}\)
\(P = 2\sqrt{3}\)

Таким образом, периметр данного треугольника равен 2\(\sqrt{3}\).